Σάββατο, 21 Ιανουαρίου 2017

Γενίκευση του νόμου Bernoulli σε μια ροή όχι μόνιμη. Με πολύ απλά λόγια.

Έχουμε μια ροή σε οριζόντιο σωλήνα σταθερής διατομής.

Αυτή μπορεί να μην είναι μόνιμη για διαφόρους λόγους.
Πως γενικεύεται ο νόμος Bernoulli ώστε να καλύψει την περίπτωση;




Τρίτη, 17 Ιανουαρίου 2017

Βαρέλια και σιφώνια

Όταν μεταγγίζουμε νερό από μια δεξαμενή σε μια άλλη που βρίσκεται χαμηλότερα, σε πόσο χρόνο αδειάζει;
Τι πρέπει να προσέχουμε όταν εφαρμόζουμε τον νόμο Μπερνούλι εδώ:

Συνέχεια:

Τρίτη, 10 Ιανουαρίου 2017

Η άνωση στα αέρια. Μια πολύ σύντομη απόδειξη.

Πριν την ρίξω άγαρμπα ας κάνω μια απλοϊκή εισαγωγή.

Κάτι ως «συστήματα μεταβλητής μάζας για παιδιά».


Η άνωση στα αέρια

Ποια είναι η υπόθεση;
Ξέρουμε ότι η άνωση, σε μη επιταχυνόμενο περιβάλλον,  είναι ίση με το βάρος του εκτοπιζόμενου υγρού. Ξέρουμε εμπειρικά πως το ίδιο ισχύει και στα αέρια. Έτσι μπορούμε να κάνουμε υπολογισμούς, πρακτικά επαρκείς, με αερόστατα.
Λόγου χάριν πόσο όγκο πρέπει να έχει ένα αερόστατο ηλίου ώστε να σηκώσει εμένα;

Όμως η απόδειξη δεν είναι ίδια. Η προέλευση των δύο πιέσεων δεν είναι ίδιας φύσης.
Η υδροστατική πίεση οφείλεται στο βάρος του υγρού, ενώ η πίεση των αερίων σε ανελέητο βομβαρδισμό από κινούμενα μόρια.

Ας τις δούμε διαδοχικά.


Παρασκευή, 30 Δεκεμβρίου 2016

Η ομορφιά της συμμετρίας και το εγκώμιο της ατέλειας , Αρθρογραφία, ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΖΩΝΗ

Η ομορφιά της συμμετρίας και το εγκώμιο της ατέλειας , Αρθρογραφία, ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΖΩΝΗ

Πόσο νερό θα βγει από κάθε τρύπα;

Έχουμε ένα κυλινδρικό δοχείο γεμάτο νερό.
Κοντά στον πάτο και στη μέση έχουμε δυο εντελώς όμοιες τρύπες ταπωμένες.
Βγάζουμε τις τάπες ταυτόχρονα.

Πόσο νερό θα βγει από κάθε τρύπα;


Τετάρτη, 28 Δεκεμβρίου 2016

Πόση είναι τελικά η παροχή;

Βρίσκω σε σημειώσεις που κυκλοφορούν στο διαδίκτυο μία απόπειρα υπολογισμού του χρόνου αδειάσματος ενός δοχείου.
Το άδειασμα δοχείου έχει (κατά το δημοσίευμα) μαθηματική ομοιότητα με την εκφόρτιση πυκνωτή.
Κάτι δεν μου αρέσει. Αρχικά διότι, ενώ καταλήγει σε κάτι ελκυστικό, πολυπλοκοποιεί κάτι που θεωρούσα πολύ απλό.
Τι συμβαίνει τελικά;


Παρασκευή, 23 Δεκεμβρίου 2016

Μια εξαναγκασμένη ταλάντωση

Είδα πως ο Διονύσης ανέβασε πρόσφατα μια συζήτηση του 2009.
Η συζήτηση ξεκίνησε από τον Κώστα Μυσίρη. Ήταν η:
Τότε πλησίαζε η μέρα της παρουσίασης του βιβλίου των Θ. Μαχαίρα και Στ. Λέτη «Θέματα Φυσικής».

Το θέμα αντιμετωπίζεται με λεπτομέρειες στο βιβλίο, στο Κεφάλαιο 3.
Ένας διεγέρτης-παιγνίδι:
Ένα καροτσάκι δεμένο με δυο ελατήρια.
Ένα μοτεράκι περιστρέφει έναν ελαφρύ δίσκο, στην περιφέρεια του οποίου έχουμε ένα βαράκι.
Θα εκτελέσει εξαναγκασμένη ταλάντωση το καροτσάκι;

Τρίτη, 20 Δεκεμβρίου 2016

Ράβδος εν γωνία άρα ταλαντεύεται

Το ραβδί έχει μάζα 10kg και μήκος 5m.
Τα ροδάκια έχουν αμελητέες μάζες και κυλίονται μια χαρά στον τοίχο και το πάτωμα, ότι και να γίνει.
Το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος και σταθερά 100Ν/m.
Η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι «ασκησιακή».

1. Σε ποια θέση θα ακινητοποιηθεί στιγμιαία;

2. Ποια είναι η θέση ισορροπίας;


3. Ποια η περίοδος της ταλάντωσης;



Κυριακή, 18 Δεκεμβρίου 2016

Το παράδοξο του, έχοντος μάζα, ελατηρίου

Κρατώ το σώμα μάζας Μ έτσι ώστε το ελατήριο μάζας m και σταθεράς k να είναι τεντωμένο κατά Α.
Προφανώς ασκώ δύναμη μέτρου k.A.
Το ελατήριο ασκεί δύναμη στο σώμα μέτρου επίσης k.A και αφού ισορροπεί δέχεται από τον τοίχο δύναμη ίδιου μέτρου.

Μόλις αφήνω το σώμα, το ελατήριο έχει παραμόρφωση Α.
Ποιες είναι οι δυνάμεις που το ελατήριο ασκεί στο σώμα και ο τοίχος στο ελατήριο;


Είναι πάλι k.A διότι το ελατήριο έχει ίδια παραμόρφωση;


Σάββατο, 17 Δεκεμβρίου 2016

Η δύναμη που ασκεί το λάστιχο στο καρφί

Έχουμε ένα λάστιχο μάζας m, μήκους L και σταθεράς k.
Το τεντώνουμε κατά Α και το αφήνουμε.

Ποια είναι η δύναμη που δέχεται ο τοίχος όταν η παραμόρφωση του λάστιχου είναι x;



Τρίτη, 13 Δεκεμβρίου 2016

Το κυκλικό μπιλίαρδο

Έχ 
Έχουμε ένα κυκλικό μπιλιάρδο.
Η κόκκινη μπίλια κινείται χωρίς τριβές στην ιδανική τσόχα του.
Οι κρούσεις με την σπόντα του είναι ελαστικές και απαλλαγμένες τριβών.

Πως πρέπει να χτυπήσουμε την μπίλια ώστε να ξαναγυρίσει στο σημείο εκκίνησης;

Προφανώς μία λύση είναι να κινηθεί κατά την διάμετρο στην οποία ανήκει και να χτυπήσει δυο φορές στην σπόντα.
         Άλλες λύσεις υπάρχουν;


Κυριακή, 11 Δεκεμβρίου 2016

Βρείτε τις δύο περιόδους

Βρείτε τις δύο περιόδους.

Το σώμα μάζας M είναι ομογενής δίσκος.
Κυλίεται συνεχώς χωρίς να παρατηρείται ολίσθηση κατά την διάρκεια του πειράματος.
Το νήμα και η τροχαλία έχουν ασήμαντες μάζες.
Βρείτε τις περιόδους των ταλαντώσεων των δύο σωμάτων.
Θεωρήσατε ότι ο δίσκος δεν συγκρούεται με το νήμα.





Σάββατο, 10 Δεκεμβρίου 2016

Μια ταλάντωση, κατά προσέγγισιν αρμονική.

Δείξατε ότι αν το κεντρικό σώμα εκτραπεί ελάχιστα από την θέση ισορροπίας του εκτελεί, κατά προσέγγισιν, αρμονική ταλάντωση.

Υπολογίσατε την περίοδο.


Οι κρεμασμένες μάζες είναι τέτοιες ώστε το σώμα να μην ανασηκωθεί κατά την κίνησή του.


Παρασκευή, 2 Δεκεμβρίου 2016

Δυο μπαλάκια και ένας κρίκος

Δυο ολόιδια μπαλάκια, μάζας m, είναι δεμένα με αβαρή νήματα σε αβαρή κρίκο, όπως στο σχήμα. Οι ακτίνες τους είναι αμελητέες προ του μήκους των νημάτων.
Ο κρίκος δέχεται σταθερή δύναμη, κάθετη αρχικά στα δύο νήματα.

Θέλουμε να βρούμε τις ταχύτητες των μπαλακίων και του κρίκου, την στιγμή που αυτά συγκρούονται.
Θέλουμε επίσης να βρούμε ποια στιγμή συγκρούονται, πόσο έχει μετακινηθεί ο κρίκος και ότι άλλο μπορούμε να βρούμε.

Θέλουμε επίσης να κουραστούμε όσο λιγότερο γίνεται.

Επιτρέπεται χρήση υπολογιστή.


Κυριακή, 27 Νοεμβρίου 2016

Η σφαίρα ανηφορίζει

Υπάρχει ένα παιγνίδι ονομαζόμενο «πυροβολήσατε το φεγγάρι».
Όταν οι ράβδοι της φωτογραφίας είναι παράλληλοι τότε η σφαίρα κατηφορίζει, ως ανεμένετο.
Όταν όμως οι ράβδοι σχηματίζουν γωνία αυτή ανηφορίζει, μέχρι να πέσει στην τρύπα που επιδιώκει ο παίκτης.

Μια γιγαντιαία εκδοχή φαίνεται στο παρακάτω βίντεο:

Η εξήγηση δεν είναι δύσκολη. Αν προσέξουμε θα δούμε ότι σε κάθε περίπτωση το κέντρο μάζας «κατεβαίνει» και η δυναμική ενέργεια μειώνεται.


Ποια ταχύτητα θα έχει όταν θα έχει διανύσει απόσταση x πάνω στις ράγες;


Τετάρτη, 23 Νοεμβρίου 2016

Μια απρόσμενη αύξηση ταχύτητας.

Χρειάζεστε ένα καρούλι σαν αυτό του σχήματος και ένα λεπτό κομμάτι κόντρα πλακέ.
Ο άξονας κυλίεται στο ξύλο και πέφτει από κάποιο ύψος στο πάτωμα όπως φαίνεται στο σχήμα.
Θα παρατηρήσουμε σημαντική αύξηση της ταχύτητας του καρουλιού.
Η εξήγηση και η μελέτη της περίπτωσης ακολουθεί.
Έστω 1kg η μάζα του καρουλιού, αμελητέα η μάζα του άξονα και οι ακτίνες ας είναι 10cm και 1cm.

Έστω επίσης ότι ημφ=0,6 και συνφ=0,8.

Δευτέρα, 21 Νοεμβρίου 2016

Οι ορμές δύο σωμάτων συνδεδεμένων με ελατήριο.

Το ελατήριο του σχήματος έχει το φυσικό του μήκος (90cm) όταν, με κάποιο τρόπο, το πράσινο σώμα αποκτά ταχύτητα 8m/s.
Το κόκκινο σώμα είναι την στιγμή εκείνη ακίνητο. Το δάπεδο λείο και οριζόντιο.


Να υπολογισθεί η μέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου.


Κυριακή, 13 Νοεμβρίου 2016

Στήστε μια άσκηση εξαναγκασμένης ταλάντωσης.

Είναι κάτι σχετικά εύκολο. Όσο για την λύση της, άλλοτε εύκολη και άλλοτε όχι, δεν απαιτείται παρά η σχέση F=m.α. Η ποικιλία των ασκήσεων μεγάλη.
Όμως αν θέλουμε ακέραια αποτελέσματα, γνωστές γωνίες κ.λ.π. πρέπει να το φροντίσουμε.

Στα εναλλασσόμενα ήταν κάτι σχετικά απλό. Ζωγραφική και στήσιμο ενός βολικού ορθογωνίου τριγώνου. Μπορούμε να κάνουμε το ίδιο. Μας το επιτρέπει η μαθηματική ομοιότητα.


Παρασκευή, 21 Οκτωβρίου 2016

Πόσο θα συμπιεσθεί το ελατήριο;

Η καρότσα του φορτηγού του σχήματος είναι εντελώς λεία.
Το όχημα κινείται με ταχύτητα 9 m/s.
Το όχημα φρενάρει.
Η επιτάχυνση έχει μέτρο 3m/s2
Πόσο θα συμπιεσθεί το ελατήριο;

Πόσο θα συμπιεσθεί το ελατήριο αν η ταχύτητα του οχήματος είναι  π/3 m/s;