Τετάρτη, 18 Μαΐου 2016

Σχετική και απόλυτη στροφορμή - Ρυθμός μεταβολής της στροφορμής


Μια προσπάθεια κωδικοποίησης των εννοιών της σχετικής, της απόλυτης στροφορμής και του ρυθμού μεταβολής της, για ένα σύστημα υλικών σημείων.

Η συνέχεια ΕΔΩ.

Δευτέρα, 11 Απριλίου 2016

Μια αντιστρεπτή και μια μη αντιστρεπτή μηχανή.

Σχετίζεται η απόδοση μιας ψυκτικής μηχανής με την κλασική απόδοσή της;

Συνέχεια:

Κυριακή, 10 Απριλίου 2016

4 ασκήσεις με δεξαμενές, βρύσες, νερά.

Ένα παιγνίδι με θέμα το άδειασμα δεξαμενών.

Συνέχεια:

Σάββατο, 9 Απριλίου 2016

Διάφορα περί ρευστών

Μια δεξαμενή τροφοδοτεί μία άλλη.
Σε πόσο χρόνο θα ολοκληρωθεί η μεταφορά;


Συνέχεια:

Δευτέρα, 4 Απριλίου 2016

Θα πλεύσει ή θα πιάσει πάτο;

Ο κύλινδρος του σχήματος έχει μάζα 2kg και εμβαδόν βάσης 200cm2.
Το ύψος του είναι 20cm. Όγκος επομένως 4L.
Θέλουμε να πλεύσει σε νερό αλλά το μόνο δοχείο που διαθέτουμε είναι κυλινδρικό ύψους 20cm και με εμβαδόν πάτου 202cm3. Ρίχνουμε στο δοχείο μας 40cm3 νερό.

Θα πλεύσει ο κύλινδρός μας ή πάτον θα πιάσει;



Κυριακή, 20 Μαρτίου 2016

Στιγμιαίος άξονας με ελάχιστα Μαθηματικά.

Η χρήση του στιγμιαίου άξονα θέλει κάποια προσοχή.
Το θέμα αντιμετωπίζεται χωρίς πολλά Μαθηματικά.

Συνέχεια:

Πέμπτη, 10 Μαρτίου 2016

Πως πρέπει να χτυπήσουμε τη μπίλια;


Οι μπίλιες απέχουν απόσταση 30cm.
Ο συντελεστής τριβής μεταξύ τσόχας και μπίλιας είναι 0,5.
Οι τριβές μεταξύ μπίλιας και μπίλιας να αμεληθούν.
Θέλουμε η κόκκινη να «αναχωρήσει» με ταχύτητα 1m/s , ενώ η πικέ να παραμείνει ακίνητη.
Πως πρέπει να χτυπήσουμε την πικέ;
Το χτύπημα να γίνει στο ίδιο ύψος με το κέντρο.



Μην βιαστείτε και απαντήσετε ότι όπως και να χτυπήσουμε την πικέ θα έχουμε ανταλλαγή ταχυτήτων.

Αν η πικέ περιστρέφεται κατά την κρούση θα δράσει επ’ αυτής δύναμη τριβής και αυτή θα κινηθεί προς τα εμπρός ή προς τα πίσω.

Τρίτη, 23 Φεβρουαρίου 2016

Γιατί το «να κόβεις δρόμο» είναι καλό…


Αρκεί να μην χαθεί το μονοπάτι…
Μόνο για Καθηγητές.
Μια ράβδος ΑΒ κινείται οριζόντια σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Σε μια στιγμή το άκρο Α, έχει ταχύτητα μέτρου υ1=1m/s, όπως στο σχήμα. Την ίδια στιγμή το σημείο Β, το οποίο απέχει από το Α κατά (ΑΒ)=1m, έχει ταχύτητα υ2 η οποία σχηματίζει γωνία 45ο με τον άξονα της ράβδου.
Να βρεθεί η ταχύτητα, τη στιγμή αυτή, του σημείου Γ, αν (ΑΓ)=3m;
ή



Κεντρομόλος και επιτρόχιος επί ράβδου

Η λεπτή ομογενής ράβδος του σχήματος έχει μάζα 12 kg και μήκος 2m.
Βρίσκεται σε λείο οριζόντιο επίπεδο και συνδέεται με αβαρείς ράβδους με το σημείο Ο περιστρέφεται περί αυτό με γωνιακή ταχύτητα 2 rad/s.
Βρείτε τις δυνάμεις που οι αβαρείς ράβδοι ασκούν στην ράβδο.
Αυτές έχουν ίδιο μήκος και είναι κάθετες μεταξύ τους.

Είναι προφανές το ότι το Ο απέχει από το κέντρο μάζας της ράβδου απόσταση όση το μισό της υποτείνουσας-ράβδου, δηλαδή 1m.


Σάββατο, 6 Φεβρουαρίου 2016

Η πίεση και οι εκδοχές της. Από τον Galileo στον Einstein.

Η πίεση και οι εκδοχές της. Από τον Galileo στον Einstein.
Η συνέχεια στο Εδώ.

Σάββατο, 23 Ιανουαρίου 2016

Χρονικά μεταβαλλόμενο πεδίο ταχυτήτων με τον νόμο Bernoulli εν ισχύ

Μια κυλινδρική δεξαμενή έχει εμβαδόν βάσης Α1 και ύψος H. Κοντά στην βάση της υπάρχει μικρή τρύπα εμβαδού Α2, η οποία φράσσεται με τάπα. Η δεξαμενή είναι γεμάτη με ιδανικό ασυμπίεστο υγρό πυκνότητας ρ. Κάποια στιγμή απομακρύνουμε την τάπα αφήνοντας το υγρό ελεύθερο να κινηθεί.
1)      Να υπολογίσετε την ταχύτητα του υγρού αμέσως έξω από την οπή σε συνάρτηση με την απόσταση που έχει κατέβει η ελεύθερη επιφάνεια του υγρού.
2)      Να συγκρίνετε το αποτέλεσμα με το θεώρημα Torricelli

3)      Να εξετάσετε αν η ροή μπορεί να θεωρηθεί μόνιμη καθ’ όλη την διάρκεια της εκροής.

Η λύση σε Word και σε pdf.

Κυριακή, 10 Ιανουαρίου 2016

Πεδία ταχύτητας και πιέσης σε κόλουρο κώνο

Θεωρούμε ένα τμήμα ενός δικτύου ύδρευσης, το οποίο έχει σχήμα κόλουρου κώνου. Οι βάσις του έχουν ακτίνες R1 και R2 και το ύψος του είναι H. Θεωρούμε επίσης ότι η ροή είναι αστρόβιλη. Έστω υ1 και p1 η ταχύτητα και η πίεση του υγρού στο κέντρο της μικρής βάσης. Ζητάμε να υπολογίσουμε την πίεση και την ταχύτητα σε όλη την έκταση του υγρού. Για λόγους απλότητας θεωρούμε ότι η ροή παρουσιάζει συμμετρία στροφής ως προς τον άξονα συμμετρίας του κώνου.

Πέμπτη, 7 Ιανουαρίου 2016

Σε πόσο χρόνο θα αδειάσει η σύριγγα;

Η σύριγγα του σχήματος έχει μήκος L και εμβαδόν διατομής Α και περιέχει ιδανικό υγρό πυκνότητας ρ.
Το άνοιγμα έχει εμβαδόν διατομής A/λ  και το έμβολο έχει αμελητέα μάζα.
Προκειμένου να αδειάσουμε την σύριγγα, ασκούμε στο έμβολο σταθερή οριζόντια δύναμη F.
Να υπολογίσετε:
         i.            i)Την ταχύτητα του εμβόλου ως συνάρτηση της μετατόπισης του.
       ii.            ii) Tο χρονικό διάστημα που απαιτείται για να αδειάσει η σύριγγα.
      iii.            iii)Tην κατανομή πιέσεων κατά μήκος της σύριγγας.

     iv.            iv) Tην δύναμη που ασκεί το τοίχωμα της σύριγγας στο υγρό.
llsss  Θεωρήστε ότι η σύριγγα βρίσκεται εκτός πεδίου βαρύτητας.
          Θεωρήστε επίσης αμελητέα την κύρτωση των ρευματικών γραμμών κοντά στο τοίχωμα που βρίσκεται το άνοιγμα.

H      Η απάντηση σε word και σε pdf


Δευτέρα, 16 Νοεμβρίου 2015

Το πλάτος στην εξαναγκασμένη ταλάντωση. Κάποια λάθη.


Πρόκειται για την συνέχεια της:
"Η μέγιστη ταχύτητα στην εξαναγκασμένη ταλάντωση"

Συνέχεια:

Τετάρτη, 4 Νοεμβρίου 2015

Στερεό, κρούση, στροφορμή, ταλάντωση

Στο λείο οριζόντιο δάπεδο ταλαντεύεται η σανίδα του σχήματος που έχει μάζα 2kg.
Το πλάτος της ταλάντωσης είναι 2m.
Όταν βρίσκεται στην θέση ισορροπίας της ταλάντωσης πέφτει κατακόρυφα μία μπάλα μάζας 10kg και ακτίνας 10cm με ταχύτητα 5m/s.
Ο συντελεστής τριβής μεταξύ μπάλας και σανίδας είναι 0,1.

Οι παραμορφώσεις των σωμάτων είναι ελαστικές και η σανίδα δεν αναπηδά στο δάπεδο.
Βρείτε την γωνία ανάκλασης της μπάλας και το νέο πλάτος ταλάντωσης της σανίδας.

Δίδεται ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας έχει την συνήθη ασκησιακή της τιμή.

Σάββατο, 31 Οκτωβρίου 2015

Θα υπάρξει ολίσθηση;

Ένα σώμα Α μάζας m αφήνεται να κινηθεί πάνω σε σανίδα μάζας Μ. Ο συντελεστής οριακής στατικής τριβής μεταξύ σώματος Α και σανίδας είναι μ=0,8∙εφφ, όπου φ η κλίση του λείου κεκλιμένου επιπέδου, ενώ το κεκλιμένο επίπεδο είναι λείο.
i) Στο πρώτο σχήμα η σανίδα συγκρατείται από εμάς και αφήνεται ταυτόχρονα με το σώμα Α.
ii) Στο δεύτερο σχήμα, η σανίδα ηρεμεί στο άκρο ελατηρίου.
Θα υπάρξει ολίσθηση του σώματος Α πάνω στη σανίδα τη στιγμή που αφήνεται να κινηθεί και αν ναι, σε ποια περίπτωση;
ή







Σάββατο, 24 Οκτωβρίου 2015

Νόμος του Poiseuille για σωλήνα.

Μια μόνιμη και στρωτή ροή πραγματικού ρευστού.
Έστω σε ένα οριζόντιο σωλήνα, κυλινδρικού σχήματος, ακτίνας R και μήκους , έχουμε μια μόνιμη και στρωτή ροή, ενός πραγματικού ρευστού με συντελεστή ιξώδους n.
Η ροή ονομάζεται μόνιμη, αφού σε κάθε σημείο, η ταχύτητα έχει μια συγκεκριμένη τιμή ανεξάρτητη του χρόνου και στρωτή,  αφού ναι μεν η ταχύτητα είναι διαφορετική στα διάφορα σημεία μιας τομής, αλλά μπορούμε να διακρίνουμε στρώματα με μια ορισμένη ταχύτητα, όπου το ένα κινείται παράλληλα στο άλλο.
Θα μελετήσουμε την δυναμική της ποσότητας του ρευστού που περικλείεται σε ομοαξονικό κύλινδρο ακτίνας r. Στο σχήμα έχουν σχεδιαστεί οι δυνάμεις F1 και F2, λόγω πίεσης από τις διπλανές ποσότητες ρευστού και η δύναμη εσωτερικής τριβής Τ, η οποία ασκείται σε όλη την παράπλευρη επιφάνεια του μικρού κυλίνδρου. Για τα μέτρα των δυνάμεων έχουμε:
Διαβάστε τη συνέχεια σε pdf.
ή






Δευτέρα, 27 Ιουλίου 2015

Οι ρευματικές γραμμές είναι τροχιές των υλικών σημείων του ρευστού ή όχι;

Μελετώντας την κίνηση ενός ρευστού κατά Lagrange ενδιαφερόμαστε για την περιπέτεια κάθε ξεχωριστού αλλά τυχαίου υλικού σημείου του ρευστού. Άλλωστε σε αυτό θα εφαρμόσουμε τον θεμελιώδη νόμο της δυναμικής.
Σχεδόν σε αντιδιαστολή με τον Lagrange ο Euler κάνει θεωρία πεδίου. Αδιαφορεί για την περιπέτεια κάθε υλικού σημείου και ενδιαφέρεται για την κατανομή των ταχυτήτων των σημείων του ρευστού στο χώρο και τον χρόνο.
Με τους δύο παραπάνω ισοδύναμους τρόπους μελέτης της κίνησης ενός ρευστού είναι συσχετισμένα δυο διαφορετικά είδη καμπυλών. Οι τροχιές των υλικών σημείων του ρευστού και οι δυναμικές γραμμές του πεδίου.
Στην παρούσα εργασία αποδεικνύεται ότι στην μόνιμη ροή οι δύο γεωμετρικές έννοιες ταυτίζονται.

Η παρούσα εργασία δεν θα είχε πραγματοποιηθεί αν σήμερα δεν ξεφύλλιζα δύο εργασίες ( εδώ και εδώ  του Βαγγέλη του Φινδανή, το οποίο και ευχαριστώ..

Σάββατο, 25 Ιουλίου 2015

Μόνιμη και μη μόνιμη στρωτή ροή.

Η ανάρτηση είναι μόνο για καθηγητές. 


Στο διπλανό σχήμα εμφανίζονται οι ρευματικές γραμμές για μια στρωτή και μόνιμη ροή νερού, το οποίο ας θεωρήσουμε ιδανικό ρευστό, εντός ενός οριζόντιου σωλήνα. Έστω κατά μήκος μιας  ευθύγραμμης ρευματικής γραμμής ένας άξονας x. Στη θέση x=0, η πίεση είναι p0=2∙105Ν/m2, ενώ η πυκνότητα του νερού είναι ρ=1.000kg/m3.
i)   Αν η ταχύτητα ροής του νερού κατά μήκος του άξονα δίνεται από την εξίσωση υ=1+2x (S.Ι.), να υπολογιστούν η ταχύτητα και η επιτάχυνση ενός σωματιδίου νερού, καθώς και η πίεση στη θέση x=2m.
ii)  Αν η ροή δεν είναι μόνιμη, αφού η ταχύτητα σε κάθε θέση x, δίνεται από την εξίσωση υ=1+2x+0,2t (S.Ι) να βρεθούν:
α) Η ταχύτητα και η επιτάχυνση ενός σωματιδίου ρευστού στη θέση x=2m σε συνάρτηση με το χρόνο.
β) Η πίεση στη θέση x=2m σε συνάρτηση με το χρόνο.

ή