Κυριακή, 24 Μαΐου 2015

Οι μετατοπίσεις σε μια ελαστική κρούση και το cm.

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο κινούνται προς την ίδια κατεύθυνση δύο σώματα με μάζες m1=2kg, m2=3kg και ταχύτητες υ1=10m/s και υ2=5m/s. Σε μια στιγμή συγκρούονται μετωπικά και ελαστικά. Θεωρούμε ότι η ελαστική αυτή κρούση, προσομοιάζεται με την αλληλεπίδραση των δύο σωμάτων, μέσω ενός ελατηρίου, σταθεράς k=3.000Ν/m και φυσικού μήκους l0=1m, όπου το ελατήριο αυτό είναι προσαρμοσμένο στο πίσω μέρος του σώματος m2, πάνω στο άλλο άκρο του οποίου προσπίπτει το σώμα m1.
Να υπολογιστούν οι μετατοπίσεις των δύο σωμάτων στη διάρκεια της κρούσης.

Δευτέρα, 11 Μαΐου 2015

Χάσιμο επαφής σώματος τοποθετημένο σε ράβδο

 Έστω μία ράβδος στην οποία έχει τοποθετηθεί ένα μικρό σώμα μάζας m. Αν αφεθεί η ράβδος ελεύθερη ανάλογα με την απόσταση που έχει τοποθετηθεί το σωματίδιο και τη γωνία που σχηματίζει η ράβδος με την οριζόντια διεύθυνση υπάρχει θέση στην οποία το σωματίδιο χάνει την επαφή του με τη ράβδο.
Τη στιγμή που χάνεται η επαφή, το σώμα κατακόρυφα θα κάνει ελεύθερη πτώση. Εμείς πρέπει να βρούμε από ποιο σημείο και μετά στη ράβδο η κατακόρυφη συνιστώσα αεy της επιτρόχιας επιτάχυνσης αε είναι ίση με g. Έτσι αν τοποθετηθεί το σώμα από τη θέση αυτή και πέρα χάνεται η επαφή του με τη ράβδο.
Τη στιγμή που χάνεται η επαφή Ν=0.

Απάντηση:

σε word format









Πέμπτη, 23 Απριλίου 2015

Παίζοντας με μια ερώτηση

Πριν λίγες μέρες ο Διονύσης, ο Βασίλης και ο Χρήστος είχαν απαντήσει σε ερώτηση του Παναγιώτη Γκρέευ. Παραλλάσσοντας την άσκηση παίζω μ’ αυτήν.

Η καφέ σανίδα έχει μάζα 2kg. Το ίδιο και το κόκκινο σώμα.

Η σταθερά του ιδανικού ελατηρίου είναι 50 Ν/m.
Αρχικά η σανίδα είναι ακίνητη και το κόκκινο σώμα έχει ταχύτητα 2 m/s.

Τριβές δεν υπάρχουν.

1. Ποια θα είναι η μέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου;
2. Πόσος χρόνος μεσολάβησε ώστε αυτή να επιτευχθεί;

3. Πόσο έχει μετατοπισθεί κάθε σώμα μέχρι αυτήν την στιγμή;

Πέμπτη, 19 Μαρτίου 2015

Μια ακόμη πιο …δύσκολη συνέχεια.

Μόνο για καθηγητές.
Σαν συνέχεια της ανάρτησης «Μια ...δύσκολη περίπτωση, σαν φύλλο εργασίας.» ας δούμε μερικά ακόμη ερωτήματα, αφήνοντας όμως έξω τους μαθητές-υποψήφιους.

Ένα ορθογώνιο μήκους l (σώμα Σ), μάζας Μ=40kg κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Σε μια στιγμή, αφήνουμε πάνω του, μια σφαίρα μάζας m=20kg και ακτίνας R=0,2m, χωρίς να έχει αρχική ταχύτητα ούτε να περιστρέφεται. Μετά από λίγο, τη στιγμή t1, το σώμα Σ έχει ταχύτητα υσ=4m/s, η ταχύτητα του κέντρου της σφαίρας είναι υcm=1m/s, ενώ το σημείο επαφής της Γ με το Σ, απέχει οριζόντια  κατά (ΜΓ)= d=0,6m από το μέσον Μ του ορθογωνίου (σχήμα α).
Δίνεται η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς άξονα που περνά από το κέντρο της Ι= 2/5 mR2 και g=10m/s2, ενώ ο συντελεστής τριβής μεταξύ σφαίρας και σανίδας είναι μ=0,5.
1)   Αν το σώμα Σ είναι μια λεπτή σανίδα, να υπολογιστεί η στροφορμή και ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής, τη παραπάνω στιγμή:
α) για το σύστημα,  β) για τη σφαίρα,   γ) για τη ράβδο.
i)  Ως προς ένα ακίνητο σημείο Γ1, στη θέση που είναι και το σημείο Γ της σανίδας.
ii) Ως προς ακίνητο σημείο Μ1 στη θέση του μέσου Μ της σανίδας:
iii) Ως προς ακίνητο σημείο Ο1 στη θέση του κέντρου Ο της σφαίρας:
2) Αν το ορθογώνιο είναι κιβώτιο σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου (σχήμα β), ύψους h=0,6m να απαντήσετε ξανά στα παραπάνω ερωτήματα.
ή




Κυριακή, 1 Μαρτίου 2015

Δύο μπάλες μπιλιάρδου συγκρούονται

Οι δύο όμοιες μπάλες του μπιλιάρδου κινούνται στο τραπέζι χωρίς να ολισθαίνουν.
Συγκρούονται μετωπικά με ταχύτητες όπως στο σχήμα. Η μεταξύ τους τριβή είναι αμελητέα.
Ο συντελεστής τριβής μεταξύ τσόχας και μπίλιας είναι μ = 0,5.
Ποιες θα είναι οι τελικές τους ταχύτητες;

Σε πόσο χρόνο κάθε μπίλια θα αποκτήσει την τελική της ταχύτητα;



Δευτέρα, 23 Φεβρουαρίου 2015

Περισσότεροι κινηματικοί περιορισμοί.

Αποκλειστικά και μόνο για Καθηγητές.
Αφήνουμε μια σκάλα ύψους 2m σε επαφή με λείο κατακόρυφο τοίχο και σε τέτοια θέση, ώστε να σχηματίζει με το έδαφος γωνία θ, όπου ημθ=0,8. Η σκάλα αρχίζει να γλιστρά, αφού και το έδαφος είναι επίσης λείο.
Να βρεθεί η αρχική επιτάχυνση του μέσου Κ της σκάλας και η αρχική γωνιακή επιτάχυνση της σκάλας, στην παραπάνω θέση.
Θεωρείστε τη σκάλα σαν μια ομογενή δοκό, για την οποία η ροπή αδράνειας, ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της, δίνεται από τη σχέση  Ι= Μl2/12, ενώ  g=10m/s2.
ή


Κυριακή, 8 Φεβρουαρίου 2015

Παίζοντας με το 2ο νόμο για την περιστροφική κίνηση.

Αποκλειστικά και μόνο για Καθηγητές.
Κάθε χρόνο επανέρχεται στο προσκήνιο το θέμα εφαρμογής του 2ου νόμου για την στροφική κίνηση και η αποφυγή χρήσης του, σε περίπτωση λανθασμένης εφαρμογής.
Ας διερευνήσουμε τα όρια λοιπόν εφαρμογής του, μέσα από κάποια παραδείγματα εφαρμόζοντάς τον σε ένα πρόβλημα, ως προς διαφορετικά σημεία.
Το πρόβλημα:
Ένας κύλινδρος ακτίνας R=20cm και μάζας 2kg, κινείται σε οριζόντιο επίπεδο με την επίδραση στον άξονά του οριζόντιας δύναμης F=16Ν, ενώ η ασκούμενη τριβή ολίσθησης έχει μέτρο Τ= ¼ F= 4Ν. Η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου δίνεται από την εξίσωση Ι= ½ mR2. Να βρεθεί η γωνιακή επιτάχυνση του τροχού.
Απάντηση:

i)     Ο γνωστός σε όλους τρόπος, είναι να θεωρήσουμε σύνθετη την κίνηση, αποτελούμενη από μια μεταφορική και μια στροφική γύρω από τον άξονα του κυλίνδρου, άξονας που περνά και από το κέντρο μάζας Ο του κυλίνδρου.

Η συνέχεια σε pdf.

Σάββατο, 7 Φεβρουαρίου 2015

Η σανίδα και ο τροχός Νο2

Η σανίδα του σχήματος έχει μάζα 20 kg και μήκος 4m.
Ο τροχός έχει μάζα επίσης 20 kg και ακτίνα 0,5m.
Το κέντρο μάζας του συστήματος έχει σημειωθεί ώστε ο αναγνώστης να απαλλαγεί από την φασαρία του προσδιορισμού του.
Μπορούμε ασκώντας μόνο οριζόντια δύναμη στο άκρο Α να αναγκάσουμε την σανίδα να κινείται παραμένουσα οριζόντια;

Ο τροχός δεν ολισθαίνει.

Η σανίδα και ο τροχός. Μια σπαζοκεφαλιά.

Η σανίδα του σχήματος έχει μάζα 20 kg και μήκος 4m.
Ο τροχός έχει μάζα επίσης 20 kg και ακτίνα 0,5m.
Το κέντρο μάζας του συστήματος έχει σημειωθεί ώστε ο αναγνώστης να απαλλαγεί από την φασαρία του προσδιορισμού του.
Ποια δύναμη πρέπει να δέχεται στο άκρο Α ώστε να κινείται με σταθερή επιτάχυνση 2 m/s2 , παραμένοντας οριζόντια;

Παρασκευή, 2 Ιανουαρίου 2015

Ακρότητες. Μια άσκηση τραβηγμένη λύνεται ενεργειακά.

Σας δίνουν ένα πρόβλημα όπως:

Δείξτε ότι κάνει ταλάντωση, υπολογίσατε θέση ισορροπίας, περίοδο κ.λ.π.
Δεδομένο ας θεωρηθεί το ότι δεν ολισθαίνει ουδέν επί ουδενός.

Το πρόβλημα σας το έδωσε κάποιος με μια λύση που το συνοδεύει και θέλετε να το ελέγξετε.


Θεωρείτε ακρότητα το παραπάνω πρόβλημα και δεν σκέφτεστε να το κάνετε στον πίνακα. Εν τούτοις θέλετε μια λύση. Αν σημειώσετε τις δυνάμεις και πάρετε τις γνωστές εξισώσεις θα το λύσετε σίγουρα.

Ας δούμε μια ενεργειακή λύση.

Κυριακή, 14 Δεκεμβρίου 2014

Παλμοί , ταχύτητες, παρατηρητές.

Η υπέρθεση παλμών μέσα από την σκοπιά κινούμενου παρατηρητή.


Δευτέρα, 3 Νοεμβρίου 2014

Η σφήνα. Παιχνίδια με ένα κλασσικό πρόβλημα.

Σε λείο οριζόντιο δάπεδο βρίσκεται μια ακίνητη σφήνα μάζας Μ. Αφήνουμε πάνω της, από ύψος h, ένα σώμα μάζας m μικρών διαστάσεων.
Τριβές μεταξύ τους δεν υπάρχουν.
Με ποια ταχύτητα φτάνει το σώμα στη βάση της σφήνας;

Ας παίξουμε με το παρόν πρόβλημα.



Τετάρτη, 29 Οκτωβρίου 2014

Το μπαλάκι και η πλατφόρμα. Βαρεία εκδοχή.

Το γκρίζο μπαλάκι έχει μάζα 1kg.
Είναι δεμένο σε αβαρές νήμα μήκους 0,6 m στο οριζόντιο σύρμα.
Αφήνεται να κινηθεί από θέση τέτοια ώστε το νήμα να είναι οριζόντιο και κάθετο στο σύρμα.
Η πλατφόρμα έχει μάζα 3kg και τα σύρματα αμελητέες μάζες.
Το οριζόντιο δάπεδο είναι λείο.


1. Όταν το μπαλάκι θα βρεθεί στην κατώτερη θέση της τροχιάς του βρείτε τις ταχύτητες μπαλακίου και πλατφόρμας.
2. Σε ποιο ύψος θα φτάσει το μπαλάκι ανεβαίνοντας;
3. Ποια θα είναι η τάση του νήματος στην κατώτερη θέση;

4. Ποια είναι η ακτίνα καμπυλότητας στην κατώτερη θέση;

Κυριακή, 19 Οκτωβρίου 2014

Η φυγόκεντρος προκαλεί ταλάντωση

Ο σωλήνας είναι λείος. Περιστρέφεται σε οριζόντιο επίπεδο με σταθερή γωνιακή ταχύτητα 5 rad/s
Το σώμα έχει μάζα 1kg και η σταθερά του ελατηρίου είναι   150 Ν/m
Το μήκος του ελατηρίου είναι 1m.



  1. Γράψτε τις εξισώσεις θέσης του.
  2. Υπολογίσατε την δύναμη από τα τοιχώματα του σωλήνα.
  3. Να υπολογίσετε την ενέργεια του συστήματος σώμα-ελατήριο.

Δευτέρα, 13 Οκτωβρίου 2014

Το δαχτυλίδι περιστρέφεται. Έργο φυγοκέντρου.

Το δαχτυλίδι του σχήματος ανήκει σε κατακόρυφο επίπεδο. Περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα 5 rad/s. Η ακτίνα του είναι 0,5m. Μια μικρή χάντρα κινείται χωρίς τριβές σ’ αυτό.

  1. Σε ποια θέση η χάντρα κινείται χωρίς να ολισθαίνει στο δαχτυλίδι;
  2. Αν η χάντρα αφεθεί στο κατώτερο σημείο ποιο είναι το μεγαλύτερο ύψος που θα φτάσει;

Παρασκευή, 10 Οκτωβρίου 2014

Πότε ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Ενέργεια ταλάντωσης.

Ένα σώμα μπορεί να κινείται σε κάποια ευθεία. Δέχεται μόνο χωροεξαρτώμενες δυνάμεις. Εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση αν η δυναμική του ενέργεια εκφράζεται ως δευτεροβάθμια συνάρτηση της απόστασής του από τυχαίο σημείο της ευθείας. Ο συντελεστής του δευτεροβάθμιου όρου πρέπει να είναι θετικός.

Τρίτη, 7 Οκτωβρίου 2014

Τι σχήμα πρέπει να έχει η καμπύλη;

Το σύρμα του σχήματος περιστρέφεται περί τον άξονα με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω παραμένοντας σε κατακόρυφο επίπεδο συνεχώς.
Ποιο πρέπει να είναι το σχήμα του ώστε η χάντρα να μην ολισθαίνει σ’ αυτό σε όποια θέση και αν αφεθεί;

Οι τριβές που δέχεται η χάντρα αμελητέες.

Πέμπτη, 25 Σεπτεμβρίου 2014

Απόδειξη σε L-C1-C2 ότι κάνει αρμονική ταλάντωση



Το παρακάτω κύκλωμα αποτελείται από:
-Iδανική πηγή με ΗΕΔ Ε=10V
-Ιδανικούς πυκνωτές με χωρητικότητες C1=2μF και C2=6μF
-Iδανικό πηνίο με συντελεστή αυτεπαγωγής L=20mH
-Aντιστάτη ωμικής αντίστασης R=10Ω

ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΣΕ DOC   & PDF                                         

Τρίτη, 24 Ιουνίου 2014

Εναλλασσόμενο ρεύμα και ταλάντωση.


Δίνεται το κύκλωμα του παραπάνω σχήματος, όπου το ιδανικό πηνίο έχει συντελεστή αυτεπαγωγής L=8mΗ, ο πυκνωτής χωρητικότητα C=20μF, η αντίσταση του αντιστάτη R=30Ω, ενώ η τάση του εναλλακτήρα (της πηγής), μεταβάλλεται αρμονικά με το χρόνο. Κλείνουμε το διακόπτη και μόλις σταθεροποιηθεί η ένδειξη του αμπερομέτρου, παίρνουμε κάποια στιγμή t=0, οπότε η τάση του εναλλακτήρα μπορεί να περιγραφεί από την εξίσωση v=60√2∙ημ(5.000t) (μονάδες στο S.Ι.).
Ας μελετήσουμε τι ακριβώς συμβαίνει στο κύκλωμα αυτό.
Η συνέχεια σε pdf.
ή