Τρίτη, 24 Ιουνίου 2014

Εναλλασσόμενο ρεύμα και ταλάντωση.


Δίνεται το κύκλωμα του παραπάνω σχήματος, όπου το ιδανικό πηνίο έχει συντελεστή αυτεπαγωγής L=8mΗ, ο πυκνωτής χωρητικότητα C=20μF, η αντίσταση του αντιστάτη R=30Ω, ενώ η τάση του εναλλακτήρα (της πηγής), μεταβάλλεται αρμονικά με το χρόνο. Κλείνουμε το διακόπτη και μόλις σταθεροποιηθεί η ένδειξη του αμπερομέτρου, παίρνουμε κάποια στιγμή t=0, οπότε η τάση του εναλλακτήρα μπορεί να περιγραφεί από την εξίσωση v=60√2∙ημ(5.000t) (μονάδες στο S.Ι.).
Ας μελετήσουμε τι ακριβώς συμβαίνει στο κύκλωμα αυτό.
Η συνέχεια σε pdf.
ή

Τετάρτη, 30 Απριλίου 2014

Δυο ράβδοι συγκρούονται ελαστικά.

Πάνω σε μια παγωμένη λίμνη ολισθαίνει εκτελώντας μόνο μεταφορική κίνηση, μια οριζόντια ομογενής ράβδος ΑΒ μήκους ℓ=1m και μάζας m, με σταθερή ταχύτητα υ0=3,5m/s, η οποία σχηματίζει γωνία θ=30° με τη ράβδο. Μια δεύτερη όμοια ράβδος ΓΔ ηρεμεί όπως στο σχήμα, όπου η διεύθυνση της ταχύτητας του μέσου Ο της ΑΒ, είναι κάθετη στην ΓΔ, στο μέσον της Κ .
Να βρεθούν η ταχύτητα και η γωνιακή ταχύτητα κάθε ράβδου, μετά την ελαστική μεταξύ τους κρούση.
Δίνεται η ροπή αδράνειας μιας ράβδου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της:
I=1/12 m2.
 ή

Πέμπτη, 24 Απριλίου 2014

Και τα στερεά συγκρούονται……

Εξετάζοντας την ελαστική κρούση υλικών σημείων, ουσιαστικά εξετάζουμε την κρούση μεταξύ δύο στερεών σωμάτων, δύο μικρών σφαιρών, τα οποία εκτελούν μόνο μεταφορική κίνηση. Τι συμβαίνει όμως στην περίπτωση που τα σώματα μπορούν και να περιστρέφονται; Στην περίπτωση αυτή, θα πρέπει να ληφθούν υπόψη οι διαστάσεις των σωμάτων, αλλά και ο συγκεκριμένος τρόπος κρούσης ή για να το πούμε διαφορετικά η Γεωμετρία τη στιγμή τα κρούσης.
Πριν όμως εξετάσουμε μερικές ενδιαφέρουσες περιπτώσεις, αξίζει να τονιστεί ότι όταν μιλάμε για ελαστική κρούση μεταξύ δύο σωμάτων, ουσιαστικά δεχόμαστε ότι δεν αναπτύσσονται δυνάμεις τριβής στη διάρκεια της κρούσης. Έτσι για παράδειγμα, στην περίπτωση που εξετάζει το σχολικό μας βιβλίο, που μια μικρή σφαίρα συγκρούεται με τοίχο, όπως στο σχήμα, η δύναμη που δέχεται από τον τοίχο, είναι κάθετη σε αυτόν, μεταβάλλοντας την συνιστώσα υx της ταχύτητας, αφήνοντας όμως ανεπηρέαστη την συνιστώσα υy,  την παράλληλη στην επιφάνεια επαφής.
Ας εξετάσουμε τώρα βήμα-βήμα μερικές περιπτώσεις ελαστικής κρούσης επίπεδων στερεών, τα οποία συγκρούονται εκτός πεδίου βαρύτητας, ώστε να μην εμπλέκονται τα βάρη.
   1.  "Κεντρική" ελαστική κρούση.
Με τον όρο «κεντρική» ας ονομάσουμε την ελαστική εκείνη κρούση, που ανεξάρτητα από άλλα χαρακτηριστικά της, αναπτύσσονται δυνάμεις κρούσης, οι οποίες διέρχονται από τα κέντρα μάζας των στερεών. Ας προσέξουμε ότι δεν μιλάμε για ταχύτητες, αλλά μόνο για τις δυνάμεις που πρόκειται να εμφανιστούν στη διάρκεια της κρούσης.

Ας δούμε μερικά παραδείγματα.
Παράδειγμα 1ο:
Δυο επίπεδα στερεά κυκλικής διατομής συγκρούονται κεντρικά, όπως στο σχήμα. Να βρεθούν οι ταχύτητες και οι γωνιακές ταχύτητες μετά την κρούση.
Η συνέχεια σε pdf,  ή από εδώ ή εδώ.

Αλλά και σε docx ή σε  doc.

Τετάρτη, 16 Απριλίου 2014

Πόσο θα ανασηκωθεί το βάρος; Βαρεία εκδοχή.

Σώμα μάζας 2kg κρέμεται από αβαρές μη εκτατό νήμα μήκους 2m. Δέχεται σταθερή δύναμη, συνεχώς οριζόντια, 20/sqrt(3)N.
Πόσο θα ανασηκωθεί;
Πόση είναι η μεγαλύτερη ταχύτητα που θα αποκτήσει;

Πόση είναι εκείνη τη στιγμή η τάση του νήματος;

Πόσο θα ανασηκωθεί το βάρος; Εκδοχή λάιτ.

Η μπάλα του σχήματος έχει μάζα 7 kg. Είναι δεμένη σε ιδανικό, αβαρές και μη εκτατό σχοινί μήκους 2,5m.
Ο νεαρός ασκεί σταθερή (κατά μέτρο, διεύθυνση, φορά) δύναμη 10Ν.

Πόση θα είναι η μέγιστη οριζόντια μετατόπιση της μπάλας;

Πέμπτη, 10 Απριλίου 2014

Για πόση ώρα ακούει το σφύριγμα;

Το αυτοκίνητο του  σχήματος κινείται στον ευθύγραμμο δρόμο με σταθερή ταχύτητα   υ = 20m/s.
Όταν βρίσκεται στο σημείο Β ενεργοποιεί σειρήνα συχνότητας 300Hz. Την σβήνει όταν φτάνει στο σημείο Γ.
Αν (ΒΓ) = (ΑΓ) = 340m να βρείτε επί πόσον χρόνο ακούει τη σειρήνα ο μικρός με τη διόπτρα.

Θεωρήσατε την ταχύτητα του ήχου 340m/s.



Τρίτη, 25 Μαρτίου 2014

Η στροφορμή σε ένα σύστημα σωμάτων.

Κάτοψη
Σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο κινούνται, αφενός ένας δίσκος μάζας Μ=10kg και ακτίνας R=0,4m ο οποίος έχει ταχύτητα υ1=1m/s και γωνιακή ταχύτητα ω1=1rad/s, κατακόρυφη με φορά προς τα κάτω, αφετέρου μια ομογενής ράβδος μήκους ℓ=2m μάζας m=3kg, η οποία δέχεται μια σταθερή οριζόντια δύναμη F=10Ν στη διεύθυνση της ταχύτητας του δίσκου. Σε μια στιγμή τα σώματα συγκρούονται ελαστικά. Τη στιγμή της κρούσης (δεύτερο σχήμα) η ράβδος έχει ταχύτητα κέντρου μάζας υcm2=1m/s κάθετη στην ταχύτητα υ1 και γωνιακή ταχύτητα ω2=2rαd/s, κατακόρυφη με φορά προς τα πάνω, ενώ και το σημείο σύγκρουσης Α απέχει 0,5m από το μέσον Κ της ράβδου.
Α) Ποια η συνολική στροφορμή του συστήματος ελάχιστα πριν την κρούση;
Β) Για τη στιγμή ελάχιστα πριν την κρούση και για το σύστημα των δύο σωμάτων να βρεθούν:
 i) Η συνολική στροφορμή ως προς το κέντρο Ο του δίσκου.
 ii) Η συνολική στροφορμή ως προς το μέσον Κ της ράβδου.
iii) Η συνολική στροφορμή ως προς το σημείο κρούσης Α.
iv) Η συνολική στροφορμή ως προς το σημείο Β το οποίο απέχει κατά 1,5m από το κέντρο του δίσκου και κατά 0,4m από τη ράβδο.
v) Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του συστήματος ως προς το σημείο Β.
Γ) Αν στη διάρκεια της κρούσης  δεν αναπτύσσονται δυνάμεις τριβής μεταξύ των δύο σωμάτων ενώ η ώθηση της δύναμης F θεωρηθεί αμελητέα, να υπολογιστούν οι ταχύτητες των κέντρων μάζας και οι γωνιακές ταχύτητες των δύο στερεών, αμέσως μετά την κρούση.
Δίνονται οι ροπές αδράνειας ως προς κατακόρυφους άξονας που περνάνε από το κέντρο μάζας κάθε στερεού Ι1= ½ ΜR2 και Ι2= 1/12 Μℓ2.
ή




Δευτέρα, 17 Μαρτίου 2014

Η σανίδα, ο δίσκος και το ζεύγος του Διονύση.

Δυο πιτσιρικάδες διάβασαν την ανάρτηση του Διονύση:

Η ράβδος, ο άξονας και το ζεύγος δυνάμεων.


http://ylikonet.gr/profiles/blogs/3647795:BlogPost:229940

Ξαφνιάστηκαν λίγο από το απρόσμενο αποτέλεσμα.

Η ράβδος όταν έμενε ελεύθερη αντί να περιστραφεί περί το μέσον της ΑΓ περιστρεφόταν περί το Κ.



Αποφάσισαν να κάνουν ένα πείραμα. Σε επίπεδο παγοδρόμιο τοποθέτησαν στο άκρο σανίδας ηλεκτρικό κινητήρα που στρέφει έναν βαρύ δίσκο.

Ο δίσκος δέχεται ζεύγος δυνάμεων αλλά ταυτόχρονα ασκεί ζεύγος στη σανίδα. Δράση-αντίδραση που λένε και στο σχολείο.



-Εδώ είμαστε να δούμε πως θα στρίψει. Μου φαίνεται απίστευτο να στρίψει περί το κέντρο της ράβδου.

Πέμπτη, 13 Μαρτίου 2014

Το σημείο εφαρμογής της δύναμης Laplace.



Ας υπολογίσουμε τη δύναμη Laplace και το σημείο εφαρμογής της στην παρακάτω περίπτωση που αν και σχετικά απλή δεν απευθύνεται σε μαθητές. Ένας ρευματοφόρος αγωγός, απείρου μήκους, γεννά μαγνητικό πεδίο και ένας άλλος, κάθετος σ’ αυτόν, δέχεται δύναμη Laplace.


Δευτέρα, 10 Μαρτίου 2014

Δύναμη Laplace σε καμπύλο αγωγό.

Ο αγωγός ΑΓ του σχήματος διαρρέεται από ρεύμα σταθερής έντασης Ι.
Βρίσκεται σε επίπεδο κάθετο στις δυναμικές γραμμές ομογενούς μαγνητικού πεδίου.

Να υπολογίσετε την δύναμη Laplace που δέχεται ο αγωγός καθώς και το σημείο εφαρμογής της.

Τετάρτη, 19 Φεβρουαρίου 2014

Ράβδος με ρόδα. Ένα παράδοξο.

Η λεπτή ράβδος και ο τροχός του σχήματος έχουν μάζες Μ και m αντίστοιχα.
Η ακτίνα του τροχού είναι R και η απόσταση της ράβδου από το κέντρο του τροχού είναι 2R.
Το μήκος της ράβδου είναι 10R.
Ο τροχός είναι λεπτός και οι ακτίνες αμελητέας μάζας.
Ολίσθηση του τροχού δεν παρατηρείται.
Ποια δύναμη πρέπει να ασκηθεί στο άκρο Β του τροχού ώστε:

  1. Να κινείται με σταθερή ταχύτητα.
  2. Να κινείται με σταθερή επιτάχυνση α που έχει τη διεύθυνση της ράβδου.

Τετάρτη, 12 Φεβρουαρίου 2014

Ότι και να κάνεις φίλε θα ακινητοποιηθεί.



Βάλε σε ένα χαρτόνι οιοδήποτε ομογενές σώμα με κυκλική διατομή.
Τράβα το χαρτόνι ώστε να μην ολισθαίνει πάνω του το σώμα.
Όταν θα βρεθεί στο τραπέζι θα κινηθεί ολισθαίνοντας.
Δείξε ότι στο τέλος θα ακινητοποιηθεί.




Κυριακή, 9 Φεβρουαρίου 2014

Συνηθισμένα λάθη στην εφαρμογή του θεμελιώδους νόμου της στροφικής κίνησης.



Κάποια σημεία που θέλουν προσοχή όταν στήνουμε άσκηση που περιλαμβάνει χρήση του θεμελιώδους νόμου για τη στροφική κίνηση.
Ισχύει μόνο για το Κ.Μ. ή και για άλλα σημεία;



Συνέχεια:

Σάββατο, 8 Φεβρουαρίου 2014

Βρείτε τη γωνιακή επιτάχυνση. Συνηθισμένα λάθη ασκησιοκατασευών.

Ένας μαθητής βρήκε σε βιβλίο την παρακάτω άσκηση:
Το κοριτσάκι έχει μάζα 50 kg και βαδίζει με ταχύτητα υ = 1m/s κατά μήκος της ακτίνας ΟΑ = 2m του δίσκου. Ο δίσκος έχει μάζα 100 kg και ακτίνα 2m.
Δέχεται εφαπτομενικά στην περιφέρειά του σταθερή δύναμη F = 100 N.
Βρείτε την γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου τη στιγμή που φτάνει στο Α.
Τη ροπή αδράνειας να τη βρείτε στο βιβλίο.
Μην τα θέλετε όλα στο πιάτο.

Παρασκευή, 7 Φεβρουαρίου 2014

Οι δυνάμεις στήριξης στο κάρο. Τέσσερεις λύσεις.

Το κάρο έχει φορτωθεί υπέρ το δέον.
Το κέντρο μάζας του βρίσκεται στο μεσοκάθετο επίπεδο του τμήματος που ενώνει τα κέντρα των δύο τροχών που βλέπετε αλλά ψηλότερα από το επίπεδο που βρίσκονται οι κινητήριες δυνάμεις που το συμπαθές τετράποδο ασκεί.
Οι δυνάμεις στήριξης στις ρόδες είναι πάντοτε ίσες;

Η επιτάχυνση του οχήματος επηρεάζει την απάντηση;


Ανατροπή σώματος του οποίου η διατομή έχει σχήμα κανονικού πολυγώνου.


Η ανάρτηση οφείλεται σε μια εξαιρετική ιδέα παρουσίασης της κύλισης που μου είχε παρουσιάσει ο Ανδρέας Κασσέτας. Ο Ανδρέας παρουσίαζε την κύλιση ως μια αλληλουχία ανατροπών.
Ένα πολύγωνο ανατρέπεται, στηρίζεται στην άλλη του έδρα και ξαναανατρέπεται κ.λ.π.
Όσο περισσότερες είναι οι έδρες του τόσο περισσότερο ταιριάζει με τον τροχό.
Με την ευκαιρία των πρόσφατων Μητροπουλικών αναρτήσεων ας δούμε το θέμα μαθηματικότερα.
Σε πρώτη φάση θέλουμε τον συντελεστή τριβής ικανό ώστε να μην επιτρέψει την ολίσθηση του σώματος.
Μόνο την ανατροπή του θέλουμε, αν αυτό γίνεται.

Η δύναμη θα ασκείται στο κέντρο μάζας του σώματος. Η επαφή του σώματος και του δαπέδου γίνεται σε μία έδρα του σώματος.  

Τρίτη, 4 Φεβρουαρίου 2014

Ποια δύναμη πρέπει να ασκώ ώστε να κινείται με σταθερή ταχύτητα;

Στην περιφέρεια δίσκου, μάζας Μ και ακτίνας R, είναι κολλημένη σημειακή μάζα m. Ο συντελεστής τριβής, μεταξύ κυλίνδρου και εδάφους, επιτρέπει στον κύλινδρο να κινείται χωρίς ολίσθηση.
Ποια οριζόντια δύναμη, παράλληλη στο επίπεδο του δίσκου πρέπει να ασκώ ώστε το κέντρο μάζας του να κινείται με σταθερή ταχύτητα υ ;

Η στιγμή μηδέν εικονίζεται στο σχήμα.

Σάββατο, 1 Φεβρουαρίου 2014

Η δύναμη αλληλεπίδρασης δύο βρόχων υπακούει στο αξίωμα δράσης - αντίδρασης;

Θεωρούμε δύο βρόχους C1, C2 οι οποίοι διαρρέονται από ρεύματα σταθερών εντάσεων Ι1 και Ι2 αντιστοίχως. Θα αποδείξουμε ότι οι δυνάμεις Laplace που ασκεί ο ένας στον άλλο είναι αντίθετες.
Απάντηση
Σε pdf και σε Word

Τετάρτη, 29 Ιανουαρίου 2014

Η μπάλα και ο κυλιόμενος διάδρομος. Είναι εντός ύλης;

Ένας μακρύς οριζόντιος κυλιόμενος διάδρομος κινείται με σταθερή ταχύτητα V=2,5 m/s. Ο μικρός αφήνει τη μπάλα του η οποία είναι αρχικά ακίνητη ως προς αυτόν πάνω στον διάδρομο.

Η μπάλα έχει μάζα 1 kg και ακτίνα R=0,2 m. Ποια θα είναι η τελική ταχύτητα και ποια η τελική γωνιακή ταχύτητα της μπάλας;
Ποια η αύξηση της θερμικής ενέργειας του συστήματος;
Η μπάλα ας θεωρηθεί ως σφαιρικός φλοιός. Η αντίσταση του αέρα ας αμεληθεί.

Ο συντελεστής τριβής μεταξύ μπάλας και διαδρόμου είναι 0,1.