Κυριακή 30 Αυγούστου 2009

Μεταβολή και Ρυθμός μεταβολής της στροφορμής.


Στην προηγούμενη ανάρτηση με τίτλο Στροφορμή, είχαμε ορίσει την στροφορμή υλικού σημείου ως προς σημείο Ο, από την σχέση:
clip_image002
Έστω τώρα ότι πάνω σε ένα υλικό σημείο που κινείται σε οριζόντιο επίπεδο, ασκείται (συνισταμένη) δύναμη F, πάνω στο ίδιο επίπεδο, όπως στο σχήμα. Η στροφορμή του υλικού σημείου ως προς το σημείο Ο, φαίνεται στο σχήμα. Ποιος ο ρυθμός μεταβολής αυτής της στροφορμής;
clip_image004
Παραγωγίζοντας την παραπάνω σχέση παίρνουμε:
clip_image002[7]
Δηλαδή ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής ενός υλικού σημείου, ως προς ένα σημείο Ο, είναι ίσος με την ροπή της δύναμης που ασκείται πάνω του, ως προς το Ο.


Εφαρμογή 1η:
Από σημείο Ο σε ύψος Η=20m, εκτοξεύεται για t=0 οριζόντια ένα μικρό σώμα, μάζας m=0,1kg με αρχική ταχύτητα υ0=10m/s. Για τη χρονική στιγμή t1=1s, ζητούνται:
α) Η στροφορμή του σώματος ως προς το σημείο Ο.
β) Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του σώματος ως προς το Ο.
Δίνεται g=10m/s2.


Απάντηση:


Για την οριζόντια βολή και για τις κινήσεις πάνω clip_image012στους άξονες x και y, του διπλανού σχήματος, ισχύουν οι εξισώσεις:
υx= υ0 , υy=g∙t, x=υ0∙t και y= ½ gt2.
Έτσι για t=1s παίρνουμε:
υy= 10m/s, x=10m και y=5m.
Οπότε το σώμα έχει φτάσει στο σημείο Α με ταχύτητα μέτρου υ=10√2m/s που σχηματίζει γωνία θ=45° με την οριζόντια διεύθυνση.
Ποια είναι η στροφορμή του σώματος ως προς το σημείο Ο;
Είναι διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο της τροχιάς (επίπεδο της σελίδας) με φορά προς τα μέσα και μέτρο:
L= mυr∙ημφ
Όπου φ η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων clip_image014 r και υ.
Αλλά με βάση το σχήμα ημφ= d/r έχουμε:
L=mυd
Όπου d η απόσταση του φορέα της ταχύτητας στο σημείο Α, από το σημείο Ο.
Αλλά με βάση τη Γεωμετρία, το τρίγωνο ΟΒΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, ενώ (ΓΔ)=(ΔΑ)=y=5m συνεπώς και (ΟΓ)=5m, οπότε d2+d2=(OΓ)2 άρα d=5/√2m και με αντικατάσταση στην (1) L=5 kgm2/s.
Έχει φασαρία;
Ας το ξαναδοκιμάσουμε:


Η στροφορμή του υλικού σημείου ως προς το Ο, είναι το διανυσματικό άθροισμα της στροφορμής εξαιτίας της ταχύτητας υx και της στροφορμής εξαιτίας της υy. Όπου και οι δύο αυτές συνιστώσες είναι κάθετες στο επίπεδο, η Lx θετική, ενώ η Ly αρνητική:
Άρα L=mυxy – mυyx
Και με αντικατάσταση L=5kgm2/s.

Αλλά και με λίγα περισσότερα Μαθηματικά:
clip_image016
Όπου υy= - 10m/s και y= -5m και με αντικατάσταση L=-5z kgm2/s.
To τελευταίο αποτέλεσμα μας λέει ότι το διάνυσμα της στροφορμής είναι κάθετο στο επίπεδο (άξονας z) και με φορά προς τα μέσα.
β) Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του σώματος ως προς το σημείο Ο είναι:
dL/dt= -w∙x = -mgx
και με αντικατάσταση dL/dt= -10kgm2/s2.
Και αυτό το διάνυσμα είναι κάθετο στο επίπεδο με φορά προς τα μέσα.


Εφαρμογή 2η:
Ένα υλικό σημείο μάζας 0,2kg κρέμεται στο άκρο νήματος μήκους l=√2m.

Εκτρέπουμε το σώμα φέρνοντάς το στη θέση Α, όπου το νήμα σχηματίζει γωνία θ=45° με την κατακόρυφο και το αφήνουμε να κινηθεί. Να βρεθεί ο αρχικός ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του σώματος, ως προς άκρο Ο του νήματος.
Δίνεται g=10m/s2.


Απάντηση:


Το σώμα θα εκτελέσει επιταχυνόμενη κυκλική κίνηση με κέντρο το Ο και ακτίνα l και ο αρχικός ρυθμός μεταβολής της στροφορμής, θα είναι κάθετος στο επίπεδο της τροχιάς, με φορά προς τα έξω και μέτρο:
dL/dt=ΣτΟ=+mgd=mgl∙ημθ
και με αντικατάσταση dL/dt=2kgm2/s2.


Εφαρμογή 3η:
Το σώμα της προηγούμενη εφαρμογής από τη θέση Α εκτοξεύεται με οριζόντια ταχύτητα, τέτοια ώστε να διαγράφει οριζόντια κυκλική τροχιά ακτίνας r=d=1m (οπότε το νήμα διαγράφει την παράπλευρη επιφάνεια ενός κώνου).
Ζητούνται:
α) Η ταχύτητα υ.
β) Η στροφορμή του σώματος ως προς το σημείο Ο.
γ) Η προβολή της στροφορμής του σώματος πάνω στον κατακόρυφο άξονα z που περνά από το κέντρο Κ της κυκλικής τροχιάς (η στροφορμή κατά τον άξονα z).
δ) Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής ως προς το Ο.



Απάντηση:


α) Με βάση το διπλανό σχήμα έχουμε:
ΣFy=0 → T συνθ=mg (1)
ΣFx=mυ2/r → Τημθ = mυ2/r (2)
Από (1) και (2) παίρνουμε:
clip_image002[9]
Και με αντικατάσταση:
clip_image002[11]
β) Για την θέση του σώματος που φαίνεται στο σχήμα, η στροφορμή είναι κάθετη στο επίπεδο που ορίζει η ταχύτητα και το νήμα, οπότε σχηματίζει γωνία θ=45° με την κατακόρυφο που περνά από το Ο. Για το μέτρο της έχουμε L=mυl=0,4√5kgm2/s.
Καθώς το σώμα περιστρέφεται και το διάνυσμα της στροφορμής στρέφεται διαγράφοντας την παράπλευρη επιφάνεια ενός κατακορυφήν κώνου, αυτού που διαγράφει το νήμα.
clip_image026 clip_image028
γ) Η κατακόρυφη συνιστώσα της στροφορμής* με βάση το σχήμα της προηγούμενης ερώτησης είναι:
image
*Αν υπολογίσουμε την στροφορμή του σώματος ως προς το κέντρο Κ της κυκλικής τροχιάς του διαγραφόμενου κύκλου θα έχουμε:
image
Βλέπουμε δηλαδή ότι ως προς οποιοδήποτε σημείο του άξονα z που είναι κάθετος στο επίπεδο της κυκλικής τροχιάς, στο κέντρο του κύκλου, η κατακόρυφη στροφορμή, είναι όση και η στροφορμή ως προς το κέντρο του κύκλου Κ.


δ) Για τον ρυθμό μεταβολής της στροφορμής ως προς το σημείο Ο έχουμε:
dL/dt=Στ= mgd
και με αντικατάσταση dL/dt=2kgm2/s2.
Με διεύθυνση κάθετη στο επίπεδο που ορίζει η διεύθυνση του βάρους (κατακόρυφη) και το σημείο Ο, συνεπώς οριζόντια διεύθυνση.


Σχόλια:


1) Η στροφορμή του σώματος μεταβάλλεται, αφού αλλάζει κατεύθυνση, παρότι διατηρεί σταθερό το μέτρο της. Η συνιστώσα όμως της στροφορμής πάνω στον άξονα z, γύρω από τον οποίο στρέφεται το στερεό, δεν μεταβάλλεται. Μεταβάλλεται μόνο η οριζόντια συνιστώσα της στροφορμής, αφού διαγράφει οριζόντιο κύκλο.
Πράγματι ας δούμε τον κύκλο που διαγράφει η clip_image002[13]οριζόντια συνιστώσα.
Αν για t=0 η οριζόντια συνιστώσα της στροφορμής είναι η L1, μετά από χρόνο dt θα έχουμε
image
Και επειδή dt→0 και dφ→0, οπότε το διάνυσμα της μεταβολής της στροφορμής dL είναι κάθετο στο διάνυσμα L1, δηλαδή με άλλα λόγια η μεταβολή της στροφορμής (που έχει την κατεύθυνση της ροπής) είναι πάντα κάθετη στην οριζόντια συνιστώσα της στροφορμής, μεταβάλλοντας την κατεύθυνσή της και όχι το μέτρο της, όπως η κεντρομόλος δύναμη μεταβάλλει την κατεύθυνση της ταχύτητας αλλά όχι το μέτρο της.


2) Αν συγκρίνουμε το αποτέλεσμα της εφαρμογής 2 με αυτό της εφαρμογής 3δ, παρατηρούμε ότι και στις δύο περιπτώσεις έχουμε τον ίδιο ρυθμό μεταβολής της στροφορμής, πράγμα αναμενόμενο αφού στο σώμα ασκείται η ίδια ροπή (του βάρους). Και όμως στην πρώτη περίπτωση το σώμα κινείται προς τα κάτω διαγράφοντας κατακόρυφο κύκλο, ενώ στην δεύτερη περίπτωση δεν συμβαίνει αυτό, αφού ο διαγραφόμενος κύκλος είναι οριζόντιος.


3) Ας μεταφέρουμε το παραπάνω συμπέρασμα, image σε μια ρόδα ποδηλάτου. Αν την αφήσουμε όρθια και ακίνητη εξαιτίας της ροπής* του ζεύγους βάρος-κάθετη αντίδραση του επιπέδου, εκτρέπεται και πέφτει.
Αν όμως κινείται, πράγμα που σημαίνει ότι έχει στροφορμή οριζόντια, η αντίστοιχη ροπή του ζεύγους, θα προκαλέσει μια οριζόντια μεταβολή dL κάθετη στην αρχική στροφορμή, με αποτέλεσμα η ρόδα να «στρίβει» λίγο, χωρίς όμως να ανατρέπεται.
image
* Η ρόδα θα πέσει αν εκτραπεί ελάχιστα από την κατακόρυφη θέση, η οποία είναι μια θέση ασταθούς ισορροπίας.
dmargaris@sch.gr
Μπορείτε να το κατεβάσετε σε pdf

Δευτέρα 24 Αυγούστου 2009

Στροφορμή


Έστω ένα υλικό σημείο που κινείται με clip_image002ταχύτητα υ και έστω ένα σημείο Ο.
Ορίζουμε στροφορμή του υλικού σημείου ως προς το Ο, το εξωτερικό γινόμενο:

clip_image004
Όπου η απόσταση του υλικού σημείου από το σημείο Ο.
Πράγμα που σημαίνει ότι η στροφορμή είναι ένα διάνυσμα, με διεύθυνση κάθετη στο επίπεδο που ορίζουν ο φορέας της ταχύτητας και το σημείο Ο, στο σημείο Ο, φορά που προκύπτει από τον «κανόνα του δεξιόστροφου κοχλία» και μέτρο ίσο μεL=r∙|ημθ|, όπου θ η γωνία μεταξύ υ και r (ισοδύναμαL=d όπου d η απόσταση του Ο από τον φορέα της ταχύτητας, ορισμός που μας επιτρέπει κατά αναλογία να πούμε, ότι η στροφορμή είναι η «ροπή της ορμής, ως προς το Ο) .

Δυο παρατηρήσεις:
1) Η στροφορμή ενός υλικού σημείου, που υπολογίζουμε με βάση τα προηγούμενα, αναφέρεται σε μια ορισμένη χρονική στιγμή.
2) Το σημείο αναφοράς Ο, μπορούμε να το πάρουμε σαν την αρχή των αξόνων, σε ένα τρισορθογώνιο σύστημα xyz, χωρίς αυτό να σημαίνει ότι η στροφορμή γενικά, πρέπει να έχει τη διεύθυνση κάποιου από τους τρεις παραπάνω άξονες. Συνεπώς μπορούμε να υποστηρίξουμε ότι η στροφορμή ορίζεται πάντα ως προς την αρχή O ενός συστήματος αναφοράς. Άλλωστε και η ορμή-ταχύτητα ορίζεται ως προς σύστημα αναφοράς και δεν είναι απόλυτα μεγέθη. Έτσι το r του τύπου, δεν είναι τίποτα άλλο, παρά το διάνυσμα θέσης του υλικού σημείου ως προς το σύστημα αναφοράς μας.
clip_image006
Στον παραπάνω ορισμό δεν αναφερθήκαμε στο είδος της τροχιάς και της κίνησης του υλικού σημείου. Μπορεί να εκτελεί κυκλική, καμπυλόγραμμη, αλλά και να κινείται ακόμη και ευθύγραμμα.
Αν όμως κινείται κυκλικά, τότεclip_image008συνήθως η στροφορμή υπολογίζεται ως προς το κέντρο Ο του κύκλου και είναι κάθετη στο επίπεδο της κυκλικής τροχιάς, στο Ο.

Έστω τώρα ένα σωματίδιο που στρέφεται ομαλά σεclip_image010οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο νήματος μήκους ℓ, διαγράφοντας την παράπλευρη επιφάνεια ενός κώνου, όπως στο σχήμα και θέλουμε την στροφορμή του ως προς το σημείο πρόσδεσης Ο, που βρίσκεται πάνω στην κάθετη στο επίπεδο, στο κέντρο Κ του κύκλου.
Με βάση τον προηγούμενο ορισμό έχει σχεδιαστεί το διάνυσμα της στροφορμής στο σχήμα, ενώ το μέτρο της είναι:
L=mυℓ
Η στροφορμή αυτή αναλύεται σε δύο συνιστώσες, μια οριζόντια Lxyκαι μια κατακόρυφη Lz για την οποία έχουμε:
Lz=L∙ημθ=mυℓ∙(r/ℓ) = r = mr2ω
Όπου r η ακτίνα της κυκλικής τροχιάς. Παρατηρούμε δηλαδή ότι:
«Η συνιστώσα της στροφορμής πάνω στον άξονα z δεν εξαρτάται από τη θέση του σημείου Ο και για όλα τα σημεία του άξονα είναι ΠΑΝΤΑ ίση με Lz=mr2ω, όπου r η απόσταση του σωματιδίου από τον άξονα.»
Συνεπώς μπορούμε να αναφερόμαστε στην στροφορμή του υλικού σημείου κατά τον (και όχι ως προς τον) κάθετο στην τροχιά άξονα z, αλλά δεν πρέπει να ξεχνάμε ότι αυτή είναι μια συνιστώσα της στροφορμής του σωματιδίου και ΟΧΙ η στροφορμή του.
Ας πάρουμε τώρα μια ράβδο μήκους l η οποία στρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω , γύρω από κατακόρυφο άξονα z διαγράφοντας την παράπλευρη επιφάνεια ενός κώνου, όπως στο σχήμα.
Θέλουμε να βρούμε την στροφορμή της ράβδου, ως προς ένα τυχαίο σημείο Ο του άξονα z.
Κάθε υλικό σημείο μάζας mi έχει στροφορμή ως προς το Ο, με κατεύθυνση όπως στο σχήμα (Α) και μέτρο:
Li=miυiri΄.
Συνεπώς η συνολική στροφορμή της ράβδου ως προς το σημείο Ο, θα προκύψει από την σύνθεση όλων των στροφορμών, των στοιχειωδών μαζών από τις οποίες αποτελείται η ράβδος και προφανώς το διάνυσμά της δεν θα έχει την κατεύθυνση του άξονα περιστροφής z σχήμα (Β).
clip_image012
Αν όμως, θέλουμε να βρούμε την συνιστώσα της συνολικής στροφορμής της ράβδουως προς το σημείο Ο, πάνω στον άξονα z, θα έχουμε:
Liz=miυir΄∙ημθ= miυir΄∙(ri/ri΄) = miυiri= miri2∙ω.
Οπότε:
LOz=ΣLiz=Σmiri2∙ω= ω∙Σmiri2= I∙ω
Όπου Ι η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής z.
Συμπέρασμα:
Η στροφορμή της ράβδου ως προς το σημείο αναφοράς Ο, δεν έχει την κατεύθυνση του άξονα. Αλλά:
Η προβολή της στροφορμής της ράβδου, πάνω στον άξονα περιστροφής z έχει μέτρο ίσο με:
LzI∙ω (1)
Και αυτό ανεξάρτητα της θέσης του σημείου Ο, ως προς το οποίο την υπολογίσαμε.
Βλέπουμε λοιπόν ότι έχει ουσιαστική αξία η στροφορμή ενός στερεού κατά τον άξονα περιστροφής του και η οποία δίνεται από την σχέση (1), αρκεί να θυμόμαστε ότι δεν είναι η στροφορμή ως προς τον άξονα, αλλά η συνιστώσα της στροφορμής πάνω στον άξονα.
Με βάση τα προηγούμενα είναι λάθος να γράψουμε:
clip_image014
Αφού το διάνυσμα της γωνιακής ταχύτητας είναι πάνω στον άξονα περιστροφής, όχι όμως και το διάνυσμα της στροφορμής, σχήμα (Β).
Και αν είχαμε ένα ομογενές συμμετρικό σώμα το οποίο στρέφεται γύρω από άξονα που περνά από κέντρο μάζας του και είναι άξονας συμμετρίας του;
clip_image016Ας πάρουμε ένα ομογενή κύλινδρο που στρέφεται γύρω από τον άξονα z ο οποίος περνά από τα κέντρα των δύο βάσεών του.
Τότε για κάθε στοιχειώδη μάζα mi υπάρχει και μια ίση συμμετρική της mi΄ που οι στροφορμές τους, ως προς ένα τυχαίο σημείο Ο του άξονα, είναι οι Li και Li΄ όπως φαίνονται στο παρακάτω σχήμα.
Αναλύουμε τις στροφορμές αυτές σε συνιστώσες, οριζόντιες και κατακόρυφες, όπου οι οριζόντιες είναι αντίθετες, δηλαδή:
Lixy= - L΄ixy
Συνεπώς η συνολική στροφορμή θα προκύψει από την σύνθεση των συνιστωσών πάνω στον άξονα z για τις οποίες έχουμε:
Lολ=ΣLiz=Σmi∙υi∙ri΄∙ημθ= Σ mi∙ω∙xi∙ri΄(xi/ri΄) ή
Lολ=ω∙Σmiri2 = I∙ω.
Συμπέρασμα:
Για ένα ομογενές συμμετρικό στερεό σώμα που στρέφεται γύρω από έναν άξονα συμμετρίας του, μπορούμε να γράψουμε:
clip_image014[1]
Όπου L η στροφορμή του στερεού ως προς οποιοδήποτε σημείο του άξονα περιστροφής και Ι η ροπή αδράνειας του στερεού ως προς τον άξονα (περιστροφής) συμμετρίας του.
Παράδειγμα:
Να υπολογιστεί η (συνολική) στροφορμή μιας ομογενούς ράβδου μάζας Μ και μήκους l η οποία στρέφεται σε οριζόντιο επίπεδο, γύρω από κατακόρυφο άξονα z που περνά από το μέσον της.
Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα Ι=(1/12) Μl2.
Απάντηση:
Με βάση την προηγούμενη ανάλυση, η συνολική στροφορμή της ράβδου, ως προς οποιοδήποτε σημείο του άξονα περιστροφής , έχει την διεύθυνση του άξονα και μέτρο:
L=I·ω= (1/12)Μℓ2·ω.
clip_image018

Αντιπαράδειγμα.
Μια λεπτή ομογενής ράβδος ΑΒ μήκους ℓ και μάζας Μ, στρέφεται σε οριζόντιο επίπεδο, γύρω από κατακόρυφο άξονα z, ο οποίος περνά από το σημείο Μ, όπου (ΑΜ)=0,25ℓ. Να υπολογισθεί η στροφορμή της ράβδου κατά τον άξονα z (δηλαδή η προβολή της στροφορμής πάνω στον z). Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της Ι=(1/12) Μl2.
Απάντηση:
Για κάθε στοιχειώδη μάζα mi μεταξύ του Α και του Μ, υπάρχει η συμμετρική της mi΄μεταξύ του Μ και του Κ (Κ το μέσον της ράβδου). Στο σχήμα έχουν σχεδιαστεί οι στροφορμές για δυο τέτοιες μάζες. Αν r η απόστασή τους από το Ο, αναλύοντας τα διανύσματα των στροφορμών σε οριζόντιες και κατακόρυφες συνιστώσες, παρατηρούμε ότι Lix= - Lix, δηλαδή οι οριζόντιες συνιστώσες αλληλοεξουδετερώνονται.Αλλά κάθε στοιχειώδης μάζα, πέρα του Κ, θα έχει οριζόντια στροφορμή, η οποία θα προστίθεται σε κάθε άλλη παρόμοιας μάζας.
clip_image020
Άρα η στροφορμή της ράβδου ως προς το Ο, θα έχει ΚΑΙ οριζόντια συνιστώσα, δηλαδή συνιστώσα, που δεν θα είναι πάνω στον άξονα περιστροφής z.
Μπορούμε όμως εύκολα να υπολογίσουμε την κατακόρυφη συνιστώσα της στροφορμής, δηλαδή την στροφορμή πάνω στον άξονα περιστροφής z.
Lz= ΣLiz= Σ mi∙υi∙ri∙ημθi !
Lz= Σ mi.ω∙xi∙ri∙(xi/ri) = ω∙ Σ mi∙xi2 =Ι∙ω
Συνεπώς η προβολή της στροφορμής πάνω στον άξονα περιστροφής, έχει φορά προς τα πάνω, δεν εξαρτάται από τη θέση του σημείου Ο και έχει μέτρο:
Lz= (1/12 Ml2+ 1/16 Ml2) ∙ω = (7/48) Μl2∙ω.
Μπορείτε να το κατεβάσετε σε pdf.