Ταλάντωση συζευγμένων εκκρεμών.

Αφορμή για την εργασία μου αυτή αποτέλεσε μια μικρή αναφορά του σχολικού βιβλίου στο φαινόμενο της ταλάντωσης δύο εκκρεμών που βρίσκονται μεταξύ τους σε σύζευξη. Επειδή το θέμα των ταλαντώσεων κυριαρχεί αυτή τη στιγμή στο δίκτυο του Διονύση Μαργαρη και ο ίδιος ενδιαφέρεται σε μεγάλο βαθμό για το ξεκαθάρισμα  κάποιων «γκρίζων ζωνών» αποφάσισα να ασχοληθώ με το θέμα των συζευγμένων ταλαντώσεων επιστρατεύοντας  την ιδιότητα του δασκάλου, που κάτι θέλει να προσφέρει. Το θέμα θα παρουσιαστεί με την μορφή μιας άσκησης και θα παρακαλέσω τον Διονύση Μάργαρη, να δώσει με τον τρόπο που αυτός γνωρίζει τις προσομειώσεις των εξισώσεων κίνησης των δύο εκκρεμών. 

Άσκηση: 

Μια απροσδόκητη κύλιση

Λεπτή στεφάνη μάζας m και αρκετά μεγάλης ακτίνας, φέρει στο κοίλο μέρος της (εσωτερική πλευρά) ένα μικρό σφαιρίδιο μάζας m ενσωματωμένο με τη στεφάνη.  Κάποια στιγμή η στεφάνη φέρεται σε επαφή με κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσεως φ και σε τέτοια θέση, ώστε η επιβατική ακτίνα του σφαιριδίου ως προς το κέντρο της στεφάνης να είναι παράλληλη προς το κεκλιμένο επίπεδο και αφήνεται ελεύθερη.

i) Με την προϋπόθεση ότι η στεφάνη αρχίζει κυλιόμενη προς τα πάνω, να δείξετε τη σχέση:

        εφφ < 1/2

ii) Να βρείτε την επιτάχυνση του κέντρου της στεφάνης κατά την στιγμή της εκκίνησής της.

Απάντηση:

H μεταμόρφωση διακροτήματος σε ταλάντωση

H μεταμόρφωση διακροτήματος σε ταλάντωση σταθερού πλάτους

και η σημασία του παροδικού όρου

·       Διακρότημα από εξαναγκασμένη ταλάντωση χωρίς απόσβεση


Η συνέχεια στο pdf.

Εξαναγκασμένη ταλάντωση χωρίς απόσβεση

Αφορμή για την τοποθέτησή μου αυτή δόθηκέ πρόσφατα από τον Διονύση Μάργαρη, που του αρέσει να σκαλίζει ενδιαφέροντα θέματα. Πρέπει όμως να πω ότι η εργασία που παρουσιάζω χρονολογείται πριν από ενάμιση χρόνο, όταν συνάντησα στο διαδύκτιο την εκφώνηση μιας άσκησης σε σημειώσεις καθηγητού του Ε.Μ.Π. την οποία αποφάσισα να λύσω, διότι είχε για μένα μεγάλο ενδιαφέρον. Σας παρουσιάζω λοιπόν την εκφώνηση και τη λύση της άσκησης.

P.M. Φυσικός

Αρμονικός ταλαντωτής μάζας m, εκτελεί αμείωτη ταλάντωση με γωνιακή συχνότητα ω₀. Τη στιγμή t=0 ο ταλαντωτής βρίσκεται στη θέση αναφοράς x=0 και έχει ταχύτητα v₀ θετικής κατεύθυνσης, δέχεται δε την επίδραση δύναμης που έχει φορέα την ευθεία ταλάν τωσης η δε αλγεβρική της τιμή μεταβάλλεται με το χρόνο t, σύμφωνα με τη σχέση:

        F = F₀συνωt

όπου F₀, ω θετικές και σταθερές ποσότητες.

i) Να δείξετε ότι για t>0, η μετατόπιση του ταλαντωτή ικανοποιεί τη σχέση:

Απάντηση:

Μια κρούση μπιλιάρδου.

Η άσκηση αυτή απεικονίζει την σκέψη ενός καλού παίκτη του μπιλιάρδου, ο οποίος πιθανότατα δεν γνωρίζει τίποτε για το φαινόμενο της κρούσεως.

P.M. Φυσικός

Δύο απόλυτα όμοιες σφαίρες ακτίνας R, ισορροπούν πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο, ώστε να εφάπτονται μεταξύ τους. Mια τρίτη σφαίρα της ίδιας μάζας και της ίδιας ακτίνας με τις δύο προη γούμενες σφαίρες κινείται πάνω στο οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα v₀, της οποίας ο φορέας διέρχεται από το σημείο επαφής Ο των δύο σφαιρών και κάποια στιγμή συγκρούεται ταυτόχρονα με αυτές. Eάν η κρούση των σφαιρών είναι ελαστική να βρεθεί πως μεταβάλλεται με το χρόνο η απόσταση των δύο πρώτων σφαιρών.

Απάντηση:

Η ευθύνη του σχολικού βιβλίου είναι να είναι βέλτιστο (β΄ μέρος)

Πριν από λίγο μπαίνοντας στο δίκτυο του Διονύση, είδα με πολύ χαρά να συναντιέμαι με συναδέλφους στους ίδιους προβληματισμούς... Και στις ίδιες αγωνίες, όταν διαισθανόμαστε ότι χρόνια τώρα διδάσκουμε λάθη.

Προκειμένου να ενισχυθεί η κοινή μας πορεία προς την ανακάλυψη του σωστού και να εξωτερικεύσω τον προβληματισμό μου σχετικά με την ηθική διάσταση και τη μεγάλη ευθύνη όσων βάζουν θέματα Πανελλαδικών Εξετάσεων από σχολικό βιβλίο που είναι γεμάτο λάθη, καταφεύγω σε τρεις κινήσεις:

1)  Εναποθέτω στην κρίση σας τμήμα από τις διαφάνειες που χρησιμοποίησα σε μια από τις ομιλίες μου πέρσι στη Μαγνησία, με θέμα τον εξαναγκασμένο αρμονικό ταλαντωτή χωρίς απόσβεση.

Στις ομιλίες μου αυτές, μεταξύ των άλλων, τόνισα ότι η διδασκαλία του εξαναγκασμένου αρμονικού ταλαντωτή χωρίς απόσβεση στα Λύκεια είναι απαράδεκτη, γιατί με τον τρόπο που μας αναγκάζει το σχολικό βιβλίο να τον διδάξουμε, είναι σα να μας αναγκάζει να περιγράψουμε φυσικό φαινόμενο δικιά μας εφεύρεσης. Με διαγράμματα και σχέσεις δηλαδή που δεν υπάρχουν.

Και είχα καταλήξει τότε, ότι όλη η παρουσίαση του εξαναγκασμένου ταλαντωτή χωρίς, αλλά και με απόσβεση είναι γεμάτη με τόσα λάθη, που ακόμη και η πιο αθώα ερώτηση πάνω στο συγκεκριμένο θέμα στις Πανελλαδικές Εξετάσεις θα οδηγούσε σε αδικίες.

2)  Υπενθυμίζω ότι πέρσι στις Πανελλαδικές μπήκε κάτι από εξαναγκασμένο (1ο θέμα, ερώτηση 5δ). Και αδικία έγινε στα βαθμολογικά γιατί δεν υπήρξε κεντρική οδηγία.

Σας παραπέμπω στην ανάρτηση  http://sxoleiof.blogspot.com/2009/05/blog-post_26.html . Λάθη στη φθίνουσα, λάθη στην εξαναγκασμένη, λάθη, λάθη....

Ο εξαναγκασμένος χωρίς απόσβεση είναι κλασικό παράδειγμα εξαναγκασμένης ταλάντωσης, όπου ο διεγέρτης δεν επιβάλλει στον ταλαντωτή τη συχνότητά του

3) Δίνω αποσπάσματα από το 3ο και 4ο κεφάλαιο του βιβλίο μου  

Θέματα Φυσικής

Παρανοήσεις και προτάσεις υπέρβασής τους

που πρόκειται να παρουσιάσω στις 19 Δεκεμβρίου 2009 στη Στοά του Βιβλίου.

Τούτο το τελευταίο κάνω, όχι με την υστεροβουλία της διαφήμισης ενός βιβλίου, αλλά με την άκρατη χαρά ότι αν αρχίσουμε να αμφισβητούμε τις ˝αυθεντίες˝, που τόσα χρόνια μας πήραν στο λαιμό τους, όχι μόνο θα συνειδητοποιήσουμε το διαρκές έγκλημα που γίνεται κατά τη διδασκαλία Φυσικής Γ΄ Λυκείου Κατεύθυνσης, αλλά θα αντιδράσουμε πιο δυναμικά.

Το πρόβλημα είναι ότι δεν ξέρω τον τρόπο αντίδρασης, αλλά να, τα λέω αυτά γιατί οι λαχτάρες για ένα καλύτερο σχολείο πάντα θα έχουν κάτι όμορφο να προσθέσουν....

 H συνέχεια στο αρχείο pdf.

Μέρος 3ο Σύστημα βάσης – σώματος Μονωμένο σύστημα – Τυχαίες αρχικές συνθήκες

Η παρακάτω διάταξη αποτελεί μονωμένο σύστημα. Να γράψετε την εξίσωση κίνησης  σώματος για τυχαίες αρχικές συνθήκες των σωμάτων

Απάντηση:

Μονωμένο σύστημα βάσης - σώματος

Η παρακάτω διάταξη αποτελεί μονωμένο σύστημα. Εκτρέπουμε το σώμα και τη βάση και τα αφήνουμε ελευθέρα, χωρίς αρχική ταχύτητα, την ίδια χρονική στιγμή. Να γράψετε την εξίσωση κίνησης βάσης και σώματος αντίστοιχα.

Απάντηση:

Δύο ταλαντώσεις που φαίνονται συζευγμένες αλλά δεν είναι

Την ιδέα για την νέα αυτή εργασία, μου την έδωσε πάλι το θέμα που έθεσε ο συνάδελφος Κώστας Μυσίρης «Συνθεση ταλαντώσεων  ή συντονισμός;» Τώρα όμως εξετάζεται η κίνηση της βάσεως και του σώματος στο σύστημα αναφοράς του εδάφους, όταν το σώμα εκτρέπεται και το σύστημα αφήνεται ελευθερο. Φαίνεται σαν πρόβ λημα συζευγμένων ταλαντώσεων αλλά δεν είναι.

P.M. Φυσικός

Mικρό σώμα μάζας m₁, είναι στερεωμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k και φυσικού μήκους L, του οποίου το άλλο άκρο είναι δεμένο στο κατακόρυφο τοίχωμα μιας ευκίνη της βάσεως μάζας m₂, όπως φαίνεται στο σχήμα. 

Eκτρέπουμε το σώμα οριζόντια από τη θέση ισορροπίας του, ώστε το ελατήριο να τεντωθεί κατά A καί κρατάμε το σύστημα ακίνητο. Eάν στη συνέ χεια το σύστημα αφεθεί ελεύθερο, να δείξετε ότι το σώμα και η βάση θα εκτελέσουν στο σύστημα αναφοράς του εδάφους A.A.T. της ίδιας γωνιακής συχνότητας και να βρείτε τις εξισώσεις κίνησής τους. Tριβές δεν υπάρχουν.

Απάντηση:

Επιβεβαίωση με άλλο τρόπο μιας εξαναγκασμένης ταλάντωσης.

Την ιδέα για την μικρή αυτή εργασία μου την έδωσε ο συνάδελφος Κώστας Μυρσίρης, τον οποίο ευχαριστώ και ταυτόχρονα τον συγχαίρω για την διόρθωση που επέφερε σε ένα λάθος.

P.M. Φυσικός

Γιατί είναι εξαναγκασμένη ταλάντωση.

Διάταξη σύνθεσης ταλαντώσεων; Η μήπως … συντονισμού;

Να δείξετε ότι στην παρακάτω διάταξη, αν η βάση τεθεί από εξωτερικό αίτιο σε αμείωτη αρμονική ταλάντωση λειτουργεί ως διεγέρτης και το σώμα εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση. Η διάταξη επομένως είναι ακατάλληλη για μελέτη και επίδειξη σύνθεσης ταλαντώσεων.

Απάντηση

Η αδρανειακή ψευδοδύναμη d' Alempert.

H εργασία αυτή αναφέρεται στην δύναμη αδράνειας d’ Alempert και σε δύο εφαρμογές αυτής, με την μορφή ασκήσεων, ώστε να κατανοηθεί ο τρόπος χρησιμοποίησής της.

P.M. Φυσικός

Συνέχεια.

Γενίκευση της ανάρτησης "Μια περίεργη κίνηση δοκαριού"

Ρ.Μ. Φυσικός

Συνέχεια...

ή

Γενίκευση της ανάρτησης "Μια περίεργη κίνηση δοκαριού"

Μια περίεργη κίνηση δοκαριού.

Η άσκηση αυτή αφορά την ευθύγραμμη μεταφορική κίνηση ενός δοκαριού, η οποία υπό κανονικές  συνθήκες οδηγεί στην λύση μιας διαφορικής εξίσωσης. Όμως οι γνώσεις μας από την θεωρία των ταλαντώσεων μας επιτρέπουν να παρακάμψουμε την διαφορική εξίσωση και να την αντιμετωπίσουμε με στοιχειώδη Μαθηματικά.

P.M. Φυσικός

Ένα ομογενές δοκάρι μήκους L, κινείται με σταθερή ταχύτητα v₀ κατά τον διαμήκη άξονά του, πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Kάποια στιγμή αρχίζει να κινείται σε τραχύ οριζόντιο επίπεδο, το οποίο αποτελεί συνέχεια του λείου επιπέδου. Eάν n είναι ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ δοκαριού καί του μή λείου επιπέδου να βρείτε:

i) τη σχέση μεταξύ των μεγεθών L, v0 καί n, ώστε τη στιγμή που το δοκάρι εγκαταλείπει το λείο επίπέδο να μηδενίζεται η ταχύτητά του και 

ii) τον χρόνο κίνησης του δοκαριού από τη στιγμή που άρχισε να κινείται στο τραχύ οριζόντιο επίπεδο. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας.

Απάντηση:

ή εδώ

Ανελαστική κρούση στερεού σώματος με εμπόδιο.

Η άσκηση αυτή είναι χαρακτηριστική περίπτωση ανελαστικής κρούσεως στερέου σώματος με ανένδοτο εμπόδιο. 

Κατατέθηκε για να διευκολύνει σε κάποιο βαθμό την λύση παρόμοιων και ίσως δυσκολότερων ασκήσεων που μπορεί να συναντήσει κανείς, ψάχνοντας στα Ιστολόγια του Φυσικού Διονύση Μάργαρη.

P.M. Φυσικός

Συνέχεια:

Δύο ισοδύναμοι τρόποι μελέτης της κύλισης

Αφορμή για την άσκηση αυτή υπήρξε ένας έντονος προβληματισμός συναδέλφων Φυσικών στην ερώτηση «Υπάρχει κεντρομόλος επιτάχυνση του κέντρου μάζας μιας ισοταχώς κυλιόμενης στεφάνης σε οριζόντιο έδαφος, όταν η κύλιση εξετάζεται ως γνήσια περιστροφή περι το εκάστοτε στιγμιαίο κέντρο περιστροφής;» Eλπίζω να συμβάλλω με την ανάλυση μου στην αποσαφήνιση του θέματος.

P.M. Φυσικός

 Άσκηση:

Η ξεχασμένη Τριβή κύλισης.

Η ιδέα να ασχοληθώ με την λεγόμενη τριβή κυλίσεως μου εντυπώθηκε όταν συνάντησα στο ιστολόγιο Ερωτήσεις-Ασκήσεις Φυσικής του Φυσικού Διονύση Μαργαρη μια εμπεριστατωμένη ανάλυση (με τρείς τρόπους) της καθοδικής κύλισης σφαίρας σε κεκλιμένο επίπεδο, από τον Φυσικό Θοδωρή Παπασγουρίδη. 

Το ερώτημα που εξετάζεται στην μικρή αυτή εργασία είναι κατα πόσον είναι δυνατή η ισοταχής κύλιση σφαίρας, όταν αφεθεί ελεύθερη σε κεκλιμένο επίπεδο.

P. M. Φυσικός

Συνέχεια...

Ελεύθερη πτώση και περιστροφή στερεού.

Η άσκηση αυτή είναι ουσιαστικά παραλλαγή μιας άσκησης που βρήκα στο ιστολόγιο Ερωτήσεις–Ασκήσεις Φυσικής του Φυσικού Διονύση Μαργαρη  και η οποία με εντυπωσίασε. Αποφάσισα να την λύσω με την ελπίδα να δώσει ο κος Μάργαρης την άδεια της κατα χώρησής της στο ιστολόγιο του.

P.M. Φυσικός

Άσκηση:

Ταλάντωση και σχετική κίνηση.

Αφορμή για την δημιουργία της άσκησης αυτής δόθηκε από μια αντίστοιχη άσκηση του συνάδελφου Φυσικού Θοδωρή Παπασγουρίδη με τον τίτλο «Ελατήριο και ελαστική κρούση» που καταχωρήθηκε στο ιστολόγιο Ερωτήσεις–Ασκήσεις Φυσικής του Φυσικού Διονύση Μαργαρη. Τους ευχαριστώ και τους δύο.

P.M. Φυσικός

Άσκηση:

Μια έκκεντρη κρούση αλλά και μια ράβδος συγκρούεται ανελαστικά με τοίχο.

Οι άσκησεις αυτές δημιουργήθηκαν, όταν στο ιστολόγιο του Φυσικού Διονύση Μαργαρη Ερωτήσεις-Ασκήσεις Φυσικής βρήκα μια πολύ έξυπνη ερώτηση, που καταχωρήθηκε από τον ίδιο με τον τίτλο «Ποιές αρχές διατήρησης ισχύουν;» Τον ευχαριστώ για την αφορμή μου μου έδωσε.

 P.M. Φυσικός

Έκκεντρη κρούση σφαιριδίου με στερεό.

Η ράβδος συγκρούεται ανελαστικά με ανένδοτο τοίχο.

Άσκηση Ορμής-Ενέργειας και Σχετικής κίνησης.

Για την δημιουργία της άσκησης αυτής πήρα αφορμή από μια ανάλογη άσκηση που παρουσίασε στο ιστολόγιο του Φυσικού Διονύση Μάργαρη ο συνάδελφος Φυσικός Θοδωρής Παπασγουρίδης με τον τίτλο «Α.Δ.Ο. και Α.Δ.Μ.Ε. στην κίνηση βαγονιού», τον οποίο ευχαριστώ για τον γόνιμο ηλεκτρονικό διάλογο που έγινε μεταξύ μας με αφορμή την άσκηση αυτή.

P.M.  Φυσικός

Άσκηση