Δευτέρα, 31 Δεκεμβρίου 2012

Ένα στάσιμο κύμα με απόσβεση

Θεωρούμε τα επόμενα δύο προβλήματα:
Πρόβλημα 1
Μια χορδή μήκους L είναι στερεωμένη στο ένα άκρο της. Με την βοήθεια ενός ταλαντωτή το άλλο άκρο ταλαντώνεται κάθετα στη διεύθυνση της χορδής με εξίσωση y=Asint). Να βρεθεί η εξίσωση της απομάκρυνσης των σημείων της χορδής από την θέση ισορροπίας τους συναρτήσει του χρόνου μετά την ολοκλήρωση των μεταβατικών φαινομένων. Θεωρήστε ότι δύναμη απόσβεσης σε κάθε στοιχειώδες τμήμα της χορδής είναι ανάλογη της ταχύτητας του και ανάλογη του μήκους του.
Πρόβλημα 2
Μια χορδή μήκους 2L είναι στερεωμένη στα δύο άκρα της. Απομακρύνουμε την χορδή από την θέση ισορροπίας έτσι ώστε τα σημεία της να βρίσκονται επί μιας ημιτονοειδούς καμπύλης και την στιγμή t=0 την αφήνουμε ελεύθερη να κινηθεί. Να βρεθεί η εξίσωση της απομάκρυνσης των σημείων της χορδής από την θέση ισορροπίας τους συναρτήσει του χρόνου. Θεωρήστε ότι δύναμη απόσβεσης σε κάθε στοιχειώδες τμήμα της χορδής είναι ανάλογη της ταχύτητας του και ανάλογη του μήκους του.
Λύση σε word και σε pdf

Κυριακή, 23 Δεκεμβρίου 2012

Με ποιο ρυθμό διαδίδονται η κυματική ενέργεια και ορμή ;


Η ανάρτηση αυτή αφιερώνεται στον Διονύση Μάργαρη, ο οποίος με τις διδακτικές προσεγγίσεις και τις στοχοθετημένες ασκήσεις του συμβάλει ώστε όλοι μας να γίνουμε σοφότεροι.
Όπως έχω αναφέρει και παλαιότερα, μέχρι πριν από δύο χρόνια οι γνώσεις μου στα κύματα και ιδιαίτερα στην ενέργεια και ορμή που διαδίδονται μέσω αυτών ήταν έως πρωτόγονες.
Στις παραδόσεις μου αναμασούσα την φράση: Με τα κύματα διαδίδεται ενέργεια και ορμή χωρίς να διαδίδεται ύλη. Όμως στο ερώτημα:
«Θεωρούμε ένα εγκάρσιο αρμονικό κύμα που διαδίδεται σε μια τεντωμένη χορδή. Πόση ενέργεια περνά στην μονάδα του χρόνου από το τάδε σημείο την δείνα χρονική στιγμή;»  σήκωνα τα χέρια ψηλά.
Η επαφή με το ylikonet ήταν η αιτία για ουσιαστική αναζήτηση.
Η ανάρτηση του Διονύση Μάργαρη κύματα και ενέργεια ήταν που άρχισε να ξεκαθαρίζει τα πράγματα.
Με αφορμή την συμβολή δύο παλμών ξανακοίταξα την ανάρτηση αυτή και αποφάσισα να την πάω παραπέρα. Να υπολογίσω την ενέργεια και ορμή που διέρχονται στην μονάδα του χρόνου από ένα σημείο μια δεδομένη χρονική στιγμή.
Τα κύρια συμπεράσματα που προκύπτουν είναι τα εξής:
Σε ένα τρέχον κύμα
  • Η πυκνότητα της ολικής ενέργειας σε ένα σημείο δεν είναι χρονικά σταθερή
  • Η πυκνότητα κινητικής ενέργειας είναι ίση με την πυκνότητα δυναμικής ενέργειας. Επομένως
  • Για ένα δεδομένο σημείο, τις χρονικές στιγμές που η κινητική ενέργεια είναι μέγιστη, το ίδιο ισχύει και για την δυναμική.
  • Μια δεδομένη χρονική στιγμή, στα σημεία στα οποία η κινητική ενέργεια είναι μέγιστη στα ίδια σημεία είναι μέγιστη και η δυναμική.
  • Σε δύο σημεία που απέχουν τυχαία απόσταση, είναι δυνατόν μια δεδομένη χρονική στιγμή η ανά μονάδα χρόνου εισερχόμενη ενέργεια να είναι διαφορετική από την ανά μονάδα χρόνου εξερχόμενη.
  • Η συνολική ενέργεια ενός πεπερασμένου τμήματος  του μέσου είναι σταθερή μόνο κατά μέσο όρο.
Στο στάσιμο κύμα
  • Από τους δεσμούς και τις κοιλίες οποιαδήποτε χρονική στιγμή δεν διέρχεται ενέργεια.
    Συνεπώς, η ενέργεια εγκλωβίζεται στο τμήμα του μέσου μεταξύ μιας κοιλίας και του επόμενου δεσμού.
  • Από τις κοιλίες δεν διέρχεται ορμή. Επομένως η ορμή εγκλωβίζεται μεταξύ δύο διαδοχικών κοιλιών
  • στις κοιλίας ( ακρότατο της συνάρτησης Ψ(x)) η πυκνότητα δυναμικής ενέργειας είναι μηδέν διότι ένα στοιχειώδες τμήμα είναι παράλληλο στον άξονα x και συνεπώς δεν έχει υποστεί επιμήκυνση.
  • Αντιθέτως στους δεσμούς η πυκνότητα δυναμικής ενέργειας είναι μέγιστη διότι στα σημεία αυτά η καμπύλη Ψ(x) παρουσιάζει την μέγιστη κλίση. Αυτό σημαίνει ότι τα αντίστοιχα στοιχειώδη τμήματα έχουν υποστεί την μέγιστη παραμόρφωση.
  • Η πυκνότητα ορμής είναι μέγιστη κατ’ απόλυτη τιμή στις κοιλίες .
  • Στους δεσμούς ο ρυθμός ροής ορμής είναι κατ’ απόλυτη τιμή μέγιστος
Αναλυτικώτερα

Τρίτη, 18 Δεκεμβρίου 2012

Απόδοση Κύκλου Carnot

       Μια "απόδειξη" για το γεγονός ότι ο κύκλος του Carnot έχει τη μέγιστη απόδοση με την βοήθεια της "εις άτοπον απαγωγής"...

    Απόδοση Κύκλου Carnot

Σάββατο, 15 Δεκεμβρίου 2012

Γιατί ο κύκλος Carnot έχει τον μεγαλύτερο συντελεστή απόδοσης;


Θεωρούμε μια θερμική μηχανή, η οποία λειτουργεί μεταξύ των θερμοκρασιών Τ1 και Τ2 με Τ12.
Να αποδείξετε ότι ο συντελεστής απόδοσης της μηχανής δεν υπερβαίνει τον συντελεστή απόδοσης μιας μηχανής Carnot, η οποία λειτουργεί μεταξύ των ίδιων θερμοκρασιών.


Απόδειξη



Παραβιάστε άφοβα το 2ο θερμοδυναμικό αξίωμα

Συνδέοντας μια μηχανή Carnot με μία Stirling.
Είμαστε σοβαροί;
Συνέχεια:

Δευτέρα, 10 Δεκεμβρίου 2012

Υπάρχει σωστή λύση;

Το δοχείο του σχήματος περιέχει αέριο με γ=5/3. Η πίεσή του είναι όσο η εξωτερική δηλαδή  100.000 Pa και η θερμοκρασία του 300 K. Το χέρι μας φροντίζει γι’ αυτό. Το εμβαδόν του εμβόλου είναι 10 τετρ. εκατ .Το συνολικό βάρος εμβόλου και πρόσθετου βάρους είναι 300 Ν.
Κάποια στιγμή αποσύρουμε το χέρι μας. Το έμβολο μετά από μερικές ταλαντεύσεις ισορροπεί στη θέση του σχήματος.
  1. Πόσο είναι το h ;
  2. Πόση είναι η αύξηση της θερμοκρασίας του αερίου;
Απαντήσεις:

Μια «Αινιγματική» Αδιαβατική Μεταβολή

Πέμπτη, 6 Δεκεμβρίου 2012

 Mια διδακτική άσκηση κίνησης …
και ένας προβληματισμός για την τεχνικής της διδασκαλίας.

'' Όλα πρέπει να γίνονται όσο πιο απλά είναι δυνατόν... αλλά όχι απλούστερα''.
Albert Einstein ( 1879-1955)



Στον Φίλο μας Θρασύβουλο Μαχαίρα …αντί για σχόλια στις αναρτήσεις του.

Eυχαριστώ θερμά ...τον Γ. Φιορεντίνο και τον Ν. Σταματόπουλο
για την ενθάρρυνση …αυτής της ιδέας. 

Τετάρτη, 28 Νοεμβρίου 2012

Ένα ποδήλατο με μια ρόδα


Ένας λεπτός ομογενής κυκλικός δίσκος ακτίνας ρ κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει παραμένοντας συνεχώς σε επαφή με οριζόντιο κυκλικό οδηγό ακτίνας R>ρ. Η κίνηση του δίσκου γίνεται έτσι ώστε το επίπεδο του δίσκου να σχηματίζει σταθερή γωνία β με την κατακόρυφο που διέρχεται από το κέντρο του.
Να βρεθεί η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του κέντρου του δίσκου ώστε η γωνία β να είναι σταθερή.

Απάντηση



Παρασκευή, 16 Νοεμβρίου 2012

Hλεκτρική ταλάντωση με δύο πυκνωτές


Ένα κύκλωμα αποτελείται από δύο όμοιους πυκνωτές με χωρητικότητα C και ένα πηνίο με συντελεστή αυτεπαγωγής L. Αρχικά οι διακόπτες είναι ανοικτοί και ο πυκνωτής 1 είναι φορτισμένος με ηλεκτρικό φορτίο Q, ενώ ο πυκνωτής 2 είναι αφόρτιστος. Μετά οι διακόπτες κλείνουν ταυτόχρονα και δημιουργείται έτσι ένα κύκλωμα ηλεκτρικών ταλαντώσεων, όπου το φορτίο και το ρεύμα ταλαντώνονται αρμονικά με το χρόνο.
α) Να βρείτε την μέγιστη ένταση του ηλεκτρικού ρεύματος I  και την κυκλική συχνότητα ω της ταλάντωσης του ρεύματος στο κύκλωμα αυτό, σε σχέση με τα L, C, Q,
β) Να γράψετε τις χρονοεξισώσεις του ηλεκτρικού ρεύματος και του ηλεκτρικού φορτίου σε κάθε πυκνωτή, θεωρώντας δεδομένες από τα προηγούμενα ερωτήματα τις τιμές της μέγιστης έντασης του ηλεκτρικού ρεύματος και της κυκλικής συχνότητας ω.
γ) Προτείνετε και σχεδιάστε ένα μηχανικό ανάλογο για το σύστημα αυτό.
( Δίνεται ότι το γινόμενο δύο ποσοτήτων με σταθερό άθροισμα είναι μέγιστο όταν αυτές είναι ίσες και ότι στην περίπτωση που δύο πυκνωτές  με χωρητικότητα C είναι συνδεδεμένοι σε σειρά η ισοδύναμη χωρητικότητα του συστήματος είναι C0=C/2).

Πέμπτη, 15 Νοεμβρίου 2012

Τροχαλία στόκος και ταλάντωση.


Mία τροχαλία μάζας Μ=2Kg και ακτίνας R=1m  μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο σταθερό άξονα. Στο χαμηλότερο σημείο της τροχαλίας είναι κολλημένο σημειακό σώμα μάζας Μ1. Μέσω κατακόρυφου μη εκτατού νήματος  που είναι περασμένο στην τροχαλία είναι δεμένο σώμα μάζας Μ2=1kg  όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:
 Το σύστημα αφήνεται ελεύθερο χωρίς αρχική ταχύτητα με το νήμα τεντωμένο και κατακόρυφο. Να βρεθούν:
Α) Η σχέση που πρέπει να έχουν οι μάζες Μ2 και Μ1 για να μπορέσει τελικά το σώμα μάζας Μ1 να διαγράψει γωνία θ=90ο μέχρι να σταματήσει στιγμιαία.
Β) Να  βρεθεί η διαφορική εξίσωση  που περιγράφει την κίνηση του συστήματος. Το σώμα μάζας Μ2 εκτελεί γ.α.τ.;
Γ) Να εκφράσετε την ταχύτητα του σώματος με μάζα Μ2 σε συνάρτηση  με την μετατόπισή της.
Για την τροχαλία δίνεται Ιcm=0,5MR2.

Τρίτη, 6 Νοεμβρίου 2012

Φανταστικές δυνάμεις

Μια απλή παρουσίαση χωρίς πολλά Μαθηματικά.


Η παρουσίαση:

Τετάρτη, 31 Οκτωβρίου 2012

Πως να αποφύγετε μια διαφορική εξίσωση

Όταν σε ένα σώμα ασκείται περιοδική δύναμη η χρήση μη αδρανειακού παρατηρητή απλοποιεί το πρόβλημα.
Συνέχεια

Τρίτη, 23 Οκτωβρίου 2012

Ερωτήσεις για την άνωση σε επιταχυνόμενο υγρό.

Μερικές ερωτήσεις με σύντομη απάντηση σχετικές με τον τίτλο.
Η συνέχεια:

Μετασχηματισμός Lorentz

Βασισμένο κατα κύριο λόγο σε ένα κεφάλαιο από ένα βιβλίο Μηχανικής που διάβασα στη διάρκεια του καλοκαιριού:
Μετασχηματισμός Lorentz

Σάββατο, 13 Οκτωβρίου 2012

Κυματική εξίσωση και μετασχηματισμοί Γαλιλαίου και Lorentz


    Μια απόδειξη του αναλλοίωτου της κυματικής εξίσωσης για ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα, κάτω από το μετασχηματισμό Lorentz.

Κυματική εξίσωση και μετασχηματισμοί Γαλιλαίου και Lorentz 

Πέμπτη, 11 Οκτωβρίου 2012

Απόλυτοι Ταξιδιώτες & Σχετικός Άνεμος



Η Μαρία κι ο Σταύρος βρίσκονται για διακοπές στη Ζάκυνθο. Σε μια βόλτα τους στη Χώρα, έμαθαν για μια βάρκα που πλέει τον γύρο της νησιού, για όσους τουρίστες έχουν το κουράγιο να τον γευθούν. Αποφασίζουν να κάνουν κι αυτοί το γύρο του νησιού με τη βάρκα το πρωινό της επόμενης μέρας.
Το ίδιο βράδυ στο ραδιόφωνο ακούνε το δελτίο καιρού της επόμενης ημέρας από έναν τοπικό ραδιοφωνικό σταθμό. Πρόσεξαν ιδιαίτερα τις πληροφορίες για τον άνεμο.
Την επόμενη μέρα, καθώς η βάρκα κινούνταν νοτιοδυτικά (η πυξίδα που κρατούσε ο Σταύρος ήταν αδιάψευστη) με ταχύτητα 6 Κm/h (αυτό τουλάχιστον απάντησε ο καπετάνιος σε σχετική ερώτησή τους), οι επιβάτες της ένιωθαν δυτικό άνεμο. Όταν η ταχύτητα της βάρκας ελλατώθηκε στα 3 km/h, οι επιβάτες ένιωθαν βορειοδυτικό άνεμο. Ο Σταύρος κι η Μαρία κοιτάζονταν με απορία.
Τί άκουσαν ο Σταύρος και η Μαρία για τον άνεμο από το δελτίο καιρού;

Εξαναγκασμένη ταλάντωση: Η ασυνέχεια της καμπύλης Α-ω στο ω=0.


Η εργασία αναφέρεται στη μορφή της γραφικής παράστασης Α –ω στην εξαναγκασμένη ταλάντωση στο όριο ω0 .  Συγκεκριμένα, από τον τύπο:  
πηγαίνοντας στο όριο ω0 προκύπτει Α=F0/D , που κάποιοι το μεταφράζουν ως «πλάτος ταλάντωσης» και κάποιοι άλλοι ως «νέα θέση». Και οι δύο ερμηνείες είναι λανθασμένες αφού – όπως θα αποδειχθεί – η διαδικασία του ορίου είναι «παράνομη» !
 Έτσι προκύπτει ότι η  καμπύλη Α – ω  δεν είναι (εν γένει) συνεχής στο ω = 0 , παρά μόνο αν η διεγείρουσα δύναμη είναι της μορφής:   F=Fo συνωt.
Έχει σημασία αν επιλέξουμε  F=Fo ημωt ή F=Fo συνωt ή F=Fo ημ(ωt+φ) για να περάσουμε στο όριο ωà0 ;
Για να μη σας κουράσω με μαθηματικά, ας δούμε την απλή περίπτωση : F=Fo ημωt
Τότε στο όριο ω0  η δύναμη μηδενίζεται και έχουμε τις εξής περιπτώσεις:
α) Αν ο ταλαντωτής δεν παρουσιάζει αποσβέσεις (b =0) τότε
     i) αν ήταν διεγερμένος θα εξακολουθεί να εκτελεί ταλάντωση με το ίδιο «άγνωστο» πλάτος.
  ii) αν ήταν σε ηρεμία θα παραμείνει (Α=0)

β) Αν έχουμε αποσβέσεις τότε θα έχουμε μία φθίνουσα ταλάντωση που θα οδηγήσει σε Α=0 (αν φυσικά ήταν αρχικά διεγερμένος).

Συμπέρασμα 1ο : Για δύναμη της μορφής F=Fo ημωt , στο όριο ωà0 το πλάτος Α μπορεί να είναι μηδέν αλλά μπορεί να έχει οποιαδήποτε τιμή (όταν ο ταλαντωτής δεν παρουσιάζει αποσβέσεις και ήταν αρχικά διεγερμένος).
Μην μας εκπλήσσει αυτό το αποτέλεσμα αφού όταν ωà0 τότε F à0, δηλαδή δεν έχουμε «εξαναγκασμένη» ταλάντωση.
Διαβάστε τη συνέχεια σε   pdf.

Τετάρτη, 10 Οκτωβρίου 2012

Εργαστηριακά "ατυχήματα"

Εργαστηριακά “ατυχήματα’’
ή
πως θα πείσουμε τους μαθητές μας ότι....
Συνέχεια:.pdf

Τρίτη, 9 Οκτωβρίου 2012

Πότε αποκτά μεγαλύτερη ταχύτητα;

Ένας άνθρωπος στέκεται πάνω σε ένα ακίνητο πατίνι, κρατώντας στα χέρια του δυο μπάλες. Πότε θα αποκτήσει μεγαλύτερη ταχύτητα, όταν:
i)   Εκτοξεύει ταυτόχρονα και τις  δυο μπάλες προς την ίδια κατεύθυνση με ταχύτητα υ ως προς τον εαυτόν του.
i)  Εκτοξεύει πρώτα τη μια και μετά την άλλη, επίσης προς την ίδια κατεύθυνση, με ταχύτητα υ ως προς τον εαυτόν του.
ή

Δευτέρα, 8 Οκτωβρίου 2012

Πεδίο Higgs και Μάζα


       Το πεδίο Higgs προσδίδει μάζα με διαφορετικούς τρόπους στα σωματίδια, ανάλογα με το είδος του σωματιδίου. Στο Καθιερωμένο Πρότυπο (Standard Model) υπάρχουν τέσσερεις διαφορετικοί τύποι σωματιδίων, που είναι φορείς δυνάμεων....

Η ... Ηλικία του Ήλιου

Μια απλή εφαρμογή του νόμου των Stefan-Boltzmann    Προφανώς το μοντέλο μας είναι λανθασμένο, γι' αυτό και μας προκύπτει τόσο...νεαρός Ήλιος.

Η ... Ηλικία του Ήλιου

Σάββατο, 6 Οκτωβρίου 2012

Αυθόρμητο Σπάσιμο Συμμετρίας και Μηχανισμός Higgs


        Τι είναι αυτό το πολυαναζητούμενο μποζόνιο Higgs; Τι σημαίνει ότι τα (αρχικά) άμαζα μποζόνια αποκτούν μάζα με την αλληλεπίδρασή τους με το Higgs; Πως "φαίνεται" αυτή η μάζα στη Λαγκρανζιανή; Ποιος ο ρόλος του αυτόματου σπάσιμου συμμετρίας; Μια πολύ εισαγωγική προσπάθεια απάντησης, μέσα από ένα απλό παράδειγμα...





Τετάρτη, 3 Οκτωβρίου 2012

Μετωπική ελαστική κρούση

   Μια πολύ μικρή αναφορά στους νόμους της μετωπικής ελαστικής κρούσης, όπως (περίπου) μελετήθηκε από τον Huygens.
Μετωπική ελαστική κρούση

Τρίτη, 2 Οκτωβρίου 2012

Ελαστική κρούση και ωθήσεις.


Και το αντίθετο, της προηγούμενης ανάρτησης, με τίτλο: " Κάτι περίεργο συμβαίνει στην ελαστική κρούση!!!"
Έστω μια ελαστική μετωπική κρούση δύο σφαιρών Α και Β, οι οποίες κινούνται στην ίδια ευθεία, όπως στο σχήμα:

Να αποδειχθεί ότι η ώθηση της δύναμης, που ασκείται στην σφαίρα Α, μέχρι τη στιγμή της μέγιστης παραμόρφωσης, είναι ίση με την ώθησή της, από κει και πέρα.

Εξισώσεις Maxwell και μετασχηματισμοί Γαλιλαίου και Lorentz

Δευτέρα, 1 Οκτωβρίου 2012

Κάτι περίεργο συμβαίνει στην ελαστική κρούση!!!

Μόνο για Καθηγητές
Έστω μια ελαστική μετωπική κρούση δύο σφαιρών Α και Β, οι οποίες κινούνται στην ίδια ευθεία, όπως στο σχήμα:

Να βρεθεί η ταχύτητα της σφαίρας Α μετά την κρούση, με δεδομένο ότι η ώθηση της δύναμης που ασκείται πάνω της μέχρι τη στιγμή της μέγιστης παραμόρφωσης, είναι ίση με την ώθησή της, από κει και πέρα.

Τρίτη, 25 Σεπτεμβρίου 2012

Δύο προβλήματα στα κύματα

Αν το περιεχόμενο της παρούσας ανάρτησης δεν είναι ολοκληρωτικά λάθος, τότε η ανάρτηση αυτή θα μπορούσε να έχει τον τίτλο
«Γιατί στην συμβολή κυμάτων ξεχνάμε τόσο τα Μαθηματικά όσο και την Φυσική;»
Συνηθίζουμε να λέμε ότι στην περίπτωση που έχουμε δύο πηγές σε φάση, τότε το μέσον Μ του ευθυγράμμου τμήματος που ορίζουν είναι κοιλία. Τι θα λέγαμε σε κάποιον που θα διατύπωνε την άποψη: Στην περίπτωση που το μήκος του ελαστικού μέσου είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους κύματος τότε το σημείο Μ συμπεριφέρεται εναλλάξ σαν κοιλία και σαν δεσμός με περίοδο 2L/υ.
Θεωρούμε τα επόμενα δύο προβλήματα
Πρόβλημα 1
Δύο αρμονικά κύματα ίδιου πλάτους Α και της  ίδιας συχνότητας και διαδίδονται σε  ένα γραμμικό ελαστικό μέσο μεγάλου μήκους με αντίθετες ταχύτητες.
Τα στιγμιότυπα των δύο κυμάτων την στιγμή t=0 είναι όπως στο επόμενο σχήμα.
Το σημείο Μ είναι το μέσον του ευθυγράμμου τμήματος ΟΒ.

Να υπολογίσετε τις απομακρύνσεις από την θέση ισορροπίας τους των σημείων Ο, Α, Β κάποια  χρονική στιγμή t με t>L/υ.
Εφαρμογή όταν ΟΒ=L=3λ/2 και t=19L/12υ
2ο Πρόβλημα
Θεωρούμε ένα γραμμικό ελαστικό μέσο μήκους L το οποίο ηρεμεί στο διάστημα [0,L] ενός συστήματος συντεταγμένων. Την στιγμή t=0 τα άκρα Ο και Β του μέσου αρχίζουν ταυτόχρονα να ταλαντώνονται κάθετα στην διεύθυνση του μέσου με εξίσωση y=Aημ(ωt).
Ως αποτέλεσμα της κίνησης των δύο άκρων στο μέσο διαδίδονται κύματα με αντίθετες ταχύτητες.
Έστω Μ το μέσον του ευθυγράμμου τμήματος ΟΒ.
  1. Να υπολογίσετε τις απομακρύνσεις από την θέση ισορροπίας τους των σημείων Ο, Α, Β κάποια  χρονική στιγμή t με 3L/2υ < t <2L/υ.
    Εφαρμογή όταν ΟΒ=L=3λ/2 και t=19L/12υ.
  2. Να αποδείξετε ότι αν το μήκος L του μέσου είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους κύματος τότε το μέσον Μ του ελαστικού μέσου συμπεριφέρεται διαδοχικά ως δεσμός και κοιλία για χρονικά διαστήματα μεγέθους L/υ.
Ο επόμενος σύνδεσμος παραπέμπει σε ένα zip αρχείο στο οποίο περιέχεται η απάντηση και μια προσομοίωση σε VB.

Πέμπτη, 20 Σεπτεμβρίου 2012

Σύνθεση ή σύζευξη ταλαντώσεων;

Στο σχολικό βιβλίο και στην ενότητα περί σύνθεσης ταλαντώσεων περιγράφεται μια διάταξη παρεμφερής της διάταξης του παρακάτω σχήματος.

Λίγο ως πολύ η παρουσίαση των συγγραφέων είναι η εξής:
Το σώμα Σ2 κινούμενο πάνω σε μια σταθερή πλατφόρμα θα εκτελούσε μια αατ με περίοδο Τ2.
Μόνη της η πλατφόρμα θα εκτελούσε μια εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση περιόδου Τ1. Αν συνυπάρχουν τα δύο σώματα τότε το Σ2 εκτελεί σύνθετη κίνηση, η οποία είναι σύνθεση δύο ταλαντώσεων με περιόδους Τ1 και Τ2.
Η σημαντικότερη ένσταση, που μπορεί να προβάλει κανείς, βρίσκεται στο γεγονός ότι το δεύτερο ελατήριο θα επηρεάσει την κίνηση του σώματος Σ1. Επειδή δεν είχα αντιμετωπίσει στο παρελθόν παρεμφερές πρόβλημα αποφάσισα να δω πως ακριβώς συμπεριφέρεται το σύστημα υπό «καθεστώς σύζευξης».
Το κύριο συμπέρασμα της μελέτης είναι ότι και τα δύο σώματα εκτελούν σύνθετες κινήσεις με ίδιες επιμέρους συχνότητες (κανονικοί τρόποι ταλάντωσης) διαφορετικές των συχνοτήτων των ανεξαρτήτων ταλαντώσεων.

Τετάρτη, 19 Σεπτεμβρίου 2012

Κλίμακες Ενέργειας και Αρχή της Αβεβαιότητας

         

       Στα επόμενα θα δούμε πως η αρχή της αβεβαιότητας (απροσδιοριστίας) του Heisenberg, θέτει ένα κάτω όριο στην ελάχιστη κινητική ενέργεια που μπορεί να έχει ένα σωματίδιο του μικρόκοσμου, που είναι «εγκλωβισμένο» σε μια περιοχή του χώρου...

Τρίτη, 4 Σεπτεμβρίου 2012

Η Εξίσωση Klein-Gordon

    Μια μικρή περιγραφή της κυματικής  εξίσωσης Klein-Gordon συνοδευόμενη από μερικά ιστορικά στοιχεία.
Η Εξίσωση Klein-Gordon

Τρίτη, 21 Αυγούστου 2012

Πάμε να φορτίσουμε έναν πυκνωτή;

Θέλουμε να φορτίσουμε έναν πυκνωτή, από μια πηγή ΗΕΔ Ε. Πώς μπορούμε να το κάνουμε;
Τι συμβαίνει αν η φόρτιση γίνει, μέσω μιας αντίστασης; Αν αντί για αντίσταση βάλουμε πηνίο;
Και τι θα γίνει αν στο κύκλωμα έχουμε και αντίσταση και πηνίο;

Δείτε το αρχείο με κλικ εδώ:

Δευτέρα, 20 Αυγούστου 2012

Φόρτιση πυκνωτή σε κύκλωμα RLC.

Στο διπλανό κύκλωμα το ιδανικό πηνίο έχει αυτεπαγωγή L=2mΗ και ο αφόρτιστος πυκνωτής χωρητικότητα C=20μF, ενώ η πηγή έχει ΗΕΔ  Ε=10V. Σε μια στιγμή κλείνουμε το διακόπτη.
Να βρεθεί το φορτίο του πυκνωτή σε συνάρτηση με το χρόνο όταν ο αντιστάτης έχει αντίσταση:
i)     R=2Ω.
ii)   R=40Ω
Να γίνουν οι αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις.

Κυριακή, 19 Αυγούστου 2012

Μία … ηλεκτρομηχανική ταλάντωση



Μπορούμε άραγε να έχουμε ηλεκτρική ταλάντωση σε ένα κύκλωμα χωρίς τη συνύπαρξη πηνίου L και πυκνωτή C;
Η πρώτη σκέψη είναι μάλλον «όχι» διότι όπως στη μηχανική είναι απαραίτητη προϋπόθεση η ύπαρξη «αδράνειας» m και «ελαστικότητας» D, η ικανότητα μ’ άλλα λόγια να αποθηκεύει το σύστημα κινητική και δυναμική ενέργεια, έτσι και στον ηλεκτρισμό το κύκλωμα θα πρέπει να μπορεί να αποθηκεύει ενέργεια μαγνητικού και ηλεκτρικού πεδίου.
Αν το δούμε λίγο πιο προσεκτικά όμως, η αυτεπαγωγή L μπορεί να είναι … αναντικατάστατη, αφού εκφράζει την «αδράνεια στις μεταβολές του ρεύματος», ισχύει όμως το ίδιο και για τη χωρητικότητα C;
Ο φορτισμένος πυκνωτής είναι μια αποθήκη ενέργειας, που κατά τη φόρτιση μετατρέπει το ηλεκτρικό έργο σε κάποια άλλη μορφή, ενώ κατά την εκφόρτιση συμβαίνει η αντίστροφη διαδικασία.
Μα αυτό ακριβώς δεν κάνει οποιαδήποτε επαναφορτιζόμενη πηγή;
Ο πυκνωτής βέβαια έχει και την ικανότητα να αλλάζει ταχύτατα πολικότητα και «συμπεριφορά» από αποδέκτης σε πηγή, κάτι που είναι πρακτικά αδύνατο π.χ. σε μια μπαταρία λιθίου ή μολύβδου, εξαιτίας των εμπλεκομένων χημικών αντιδράσεων.
Υπάρχουν όμως κι άλλες … «επαναφορτιζόμενες» μπαταρίες!
Ένα τέτοιο παράδειγμα θα δούμε στη συνέχεια.

Παρασκευή, 17 Αυγούστου 2012

ΚΙΝΗΣΗ ΠΛΑΙΣΙΟΥ ΣΕ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΟ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΑΥΞΗΣΗ ΜΕΓΕΘΟΥΣ

Τετράγωνο συρμάτινο πλαίσιο (ΑΚΛΜ) μάζας m, αντίστασης R και πλευράς α αφήνεται να πέσει κατακόρυφα μέσα σε Μη Ομογενές Μαγνητικό Πεδίο, του οποίου η μαγνητική επαγωγή δίνεται από τη σχέση Β=λ·y, όπου λ=3Τ/m = σταθ.. Το πλαίσιο τη χρονική στιγμή t=0 είναι εντός του Μαγνητικού πεδίου, με τη πάνω του πλευρά να βρίσκεται στη θέση y=0. Αν το Μαγνητικό είναι κάθετο στο επίπεδο του πλαισίου με φορά από τον αναγνώστη προς τη σελίδα:


1) Να προσδιορίστε τις συναρτήσεις u = f(t) και Ιεπ. = f(t)
2) Να δείξετε ότι το πλαίσιο (ΑΚΛΜ) θα αποκτήσει σταθερή (οριακή) ταχύτητα και να υπολογίσετε το μέτρο της.

Εκθετική αύξηση μεγέθους. Πέντε εφαρμογές.


Παρακάτω δίνονται πέντε παραδείγματα-εφαρμογές διαφορετικών φαινομένων, που όμως περιγράφονται από μια διαφορική εξίσωση της μορφής:
Η εξίσωση αυτή έχει λύση της μορφής:
Δείτε την συνέχεια με κλικ εδώ.

Ροπή Αδράνειας σφαίρας


            Εισάγοντας την έννοια της "ροπής αδράνειας ως προς σημείο", διευκολύνουμε κατά πολύ τους υπολογισμούς μας.

          Φυσικά η «ροπή αδράνειας ως προς σημείο» δεν έχει κάποιο φυσικό νόημα, είναι μια... βοηθητική ευθεία.

Ροπή αδράνειας σφαιρικού φλοιού

             Στα επόμενα κάνουμε χρήση της  χωρίς κάποιο φυσικό νόημα «ροπής αδράνειας ως προς σημείο» για να διευκολύνουμε τους υπολογισμούς μας

         Φυσικά η «ροπή αδράνειας ως προς σημείο» δεν έχει κάποιο φυσικό νόημα, είναι μια... βοηθητική ευθεία.

Τετάρτη, 15 Αυγούστου 2012

Κίνηση αγωγού σε μαγνητικό πεδίο και φόρτιση πυκνωτή


Δύο κατακόρυφοι αγωγοί Αx και Γy μεγάλου μήκους συνδέονται στα πάνω άκρα τους με πυκνωτή χωρητικότητας C. Τρίτος αγωγός μήκους και μάζας m μπορεί να γλιστράει χωρίς τριβές κατά μήκος τους, με τη βοήθεια δακτυλίων, παραμένοντας οριζόντιος. Κάθετα στο επίπεδο των αγωγών υπάρχει ομογενές μαγνητικό πεδίο έντασης Β.
Ο οριζόντιος αγωγός συγκρατείται αρχικά κοντά στα άκρα Α και Γ και τη στιγμή t = 0 αφήνεται ελεύθερος.
Α) Να μελετήσετε το είδος της κίνησής του.
Β) Πόση ενέργεια UΕ έχει αποκτήσει ο πυκνωτής όταν ο αγωγός έχει κατέλθει κατά ύψος Η;
(Όλοι οι αγωγοί έχουν μηδενική αντίσταση. Δίνεται g).