Δύο προβλήματα στα κύματα

Αν το περιεχόμενο της παρούσας ανάρτησης δεν είναι ολοκληρωτικά λάθος, τότε η ανάρτηση αυτή θα μπορούσε να έχει τον τίτλο

«Γιατί στην συμβολή κυμάτων ξεχνάμε τόσο τα Μαθηματικά όσο και την Φυσική;»

Συνηθίζουμε να λέμε ότι στην περίπτωση που έχουμε δύο πηγές σε φάση, τότε το μέσον Μ του ευθυγράμμου τμήματος που ορίζουν είναι κοιλία. Τι θα λέγαμε σε κάποιον που θα διατύπωνε την άποψη: Στην περίπτωση που το μήκος του ελαστικού μέσου είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους κύματος τότε το σημείο Μ συμπεριφέρεται εναλλάξ σαν κοιλία και σαν δεσμός με περίοδο 2L/υ.

Θεωρούμε τα επόμενα δύο προβλήματα

Πρόβλημα 1

Δύο αρμονικά κύματα ίδιου πλάτους Α και της  ίδιας συχνότητας και διαδίδονται σε  ένα γραμμικό ελαστικό μέσο μεγάλου μήκους με αντίθετες ταχύτητες.

Τα στιγμιότυπα των δύο κυμάτων την στιγμή t=0 είναι όπως στο επόμενο σχήμα.

Το σημείο Μ είναι το μέσον του ευθυγράμμου τμήματος ΟΒ.

Να υπολογίσετε τις απομακρύνσεις από την θέση ισορροπίας τους των σημείων Ο, Α, Β κάποια  χρονική στιγμή t με t>L/υ.

Εφαρμογή όταν ΟΒ=L=3λ/2 και t=19L/12υ

2^ο Πρόβλημα

Θεωρούμε ένα γραμμικό ελαστικό μέσο μήκους L το οποίο ηρεμεί στο διάστημα [0,L] ενός συστήματος συντεταγμένων. Την στιγμή t=0 τα άκρα Ο και Β του μέσου αρχίζουν ταυτόχρονα να ταλαντώνονται κάθετα στην διεύθυνση του μέσου με εξίσωση y=Aημ(ωt).

Ως αποτέλεσμα της κίνησης των δύο άκρων στο μέσο διαδίδονται κύματα με αντίθετες ταχύτητες.

Έστω Μ το μέσον του ευθυγράμμου τμήματος ΟΒ.

1. Να υπολογίσετε τις απομακρύνσεις από την θέση ισορροπίας τους των σημείων Ο, Α, Β κάποια  χρονική στιγμή t με 3L/2υ < t <2L/υ.
   Εφαρμογή όταν ΟΒ=L=3λ/2 και t=19L/12υ.
2. Να αποδείξετε ότι αν το μήκος L του μέσου είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους κύματος τότε το μέσον Μ του ελαστικού μέσου συμπεριφέρεται διαδοχικά ως δεσμός και κοιλία για χρονικά διαστήματα μεγέθους L/υ.

Ο επόμενος σύνδεσμος παραπέμπει σε ένα zip αρχείο στο οποίο περιέχεται η απάντηση και μια προσομοίωση σε VB.