Δευτέρα, 31 Δεκεμβρίου 2012

Ένα στάσιμο κύμα με απόσβεση

Θεωρούμε τα επόμενα δύο προβλήματα:
Πρόβλημα 1
Μια χορδή μήκους L είναι στερεωμένη στο ένα άκρο της. Με την βοήθεια ενός ταλαντωτή το άλλο άκρο ταλαντώνεται κάθετα στη διεύθυνση της χορδής με εξίσωση y=Asint). Να βρεθεί η εξίσωση της απομάκρυνσης των σημείων της χορδής από την θέση ισορροπίας τους συναρτήσει του χρόνου μετά την ολοκλήρωση των μεταβατικών φαινομένων. Θεωρήστε ότι δύναμη απόσβεσης σε κάθε στοιχειώδες τμήμα της χορδής είναι ανάλογη της ταχύτητας του και ανάλογη του μήκους του.
Πρόβλημα 2
Μια χορδή μήκους 2L είναι στερεωμένη στα δύο άκρα της. Απομακρύνουμε την χορδή από την θέση ισορροπίας έτσι ώστε τα σημεία της να βρίσκονται επί μιας ημιτονοειδούς καμπύλης και την στιγμή t=0 την αφήνουμε ελεύθερη να κινηθεί. Να βρεθεί η εξίσωση της απομάκρυνσης των σημείων της χορδής από την θέση ισορροπίας τους συναρτήσει του χρόνου. Θεωρήστε ότι δύναμη απόσβεσης σε κάθε στοιχειώδες τμήμα της χορδής είναι ανάλογη της ταχύτητας του και ανάλογη του μήκους του.
Λύση σε word και σε pdf

Κυριακή, 23 Δεκεμβρίου 2012

Με ποιο ρυθμό διαδίδονται η κυματική ενέργεια και ορμή ;


Η ανάρτηση αυτή αφιερώνεται στον Διονύση Μάργαρη, ο οποίος με τις διδακτικές προσεγγίσεις και τις στοχοθετημένες ασκήσεις του συμβάλει ώστε όλοι μας να γίνουμε σοφότεροι.
Όπως έχω αναφέρει και παλαιότερα, μέχρι πριν από δύο χρόνια οι γνώσεις μου στα κύματα και ιδιαίτερα στην ενέργεια και ορμή που διαδίδονται μέσω αυτών ήταν έως πρωτόγονες.
Στις παραδόσεις μου αναμασούσα την φράση: Με τα κύματα διαδίδεται ενέργεια και ορμή χωρίς να διαδίδεται ύλη. Όμως στο ερώτημα:
«Θεωρούμε ένα εγκάρσιο αρμονικό κύμα που διαδίδεται σε μια τεντωμένη χορδή. Πόση ενέργεια περνά στην μονάδα του χρόνου από το τάδε σημείο την δείνα χρονική στιγμή;»  σήκωνα τα χέρια ψηλά.
Η επαφή με το ylikonet ήταν η αιτία για ουσιαστική αναζήτηση.
Η ανάρτηση του Διονύση Μάργαρη κύματα και ενέργεια ήταν που άρχισε να ξεκαθαρίζει τα πράγματα.
Με αφορμή την συμβολή δύο παλμών ξανακοίταξα την ανάρτηση αυτή και αποφάσισα να την πάω παραπέρα. Να υπολογίσω την ενέργεια και ορμή που διέρχονται στην μονάδα του χρόνου από ένα σημείο μια δεδομένη χρονική στιγμή.
Τα κύρια συμπεράσματα που προκύπτουν είναι τα εξής:
Σε ένα τρέχον κύμα
  • Η πυκνότητα της ολικής ενέργειας σε ένα σημείο δεν είναι χρονικά σταθερή
  • Η πυκνότητα κινητικής ενέργειας είναι ίση με την πυκνότητα δυναμικής ενέργειας. Επομένως
  • Για ένα δεδομένο σημείο, τις χρονικές στιγμές που η κινητική ενέργεια είναι μέγιστη, το ίδιο ισχύει και για την δυναμική.
  • Μια δεδομένη χρονική στιγμή, στα σημεία στα οποία η κινητική ενέργεια είναι μέγιστη στα ίδια σημεία είναι μέγιστη και η δυναμική.
  • Σε δύο σημεία που απέχουν τυχαία απόσταση, είναι δυνατόν μια δεδομένη χρονική στιγμή η ανά μονάδα χρόνου εισερχόμενη ενέργεια να είναι διαφορετική από την ανά μονάδα χρόνου εξερχόμενη.
  • Η συνολική ενέργεια ενός πεπερασμένου τμήματος  του μέσου είναι σταθερή μόνο κατά μέσο όρο.
Στο στάσιμο κύμα
  • Από τους δεσμούς και τις κοιλίες οποιαδήποτε χρονική στιγμή δεν διέρχεται ενέργεια.
    Συνεπώς, η ενέργεια εγκλωβίζεται στο τμήμα του μέσου μεταξύ μιας κοιλίας και του επόμενου δεσμού.
  • Από τις κοιλίες δεν διέρχεται ορμή. Επομένως η ορμή εγκλωβίζεται μεταξύ δύο διαδοχικών κοιλιών
  • στις κοιλίας ( ακρότατο της συνάρτησης Ψ(x)) η πυκνότητα δυναμικής ενέργειας είναι μηδέν διότι ένα στοιχειώδες τμήμα είναι παράλληλο στον άξονα x και συνεπώς δεν έχει υποστεί επιμήκυνση.
  • Αντιθέτως στους δεσμούς η πυκνότητα δυναμικής ενέργειας είναι μέγιστη διότι στα σημεία αυτά η καμπύλη Ψ(x) παρουσιάζει την μέγιστη κλίση. Αυτό σημαίνει ότι τα αντίστοιχα στοιχειώδη τμήματα έχουν υποστεί την μέγιστη παραμόρφωση.
  • Η πυκνότητα ορμής είναι μέγιστη κατ’ απόλυτη τιμή στις κοιλίες .
  • Στους δεσμούς ο ρυθμός ροής ορμής είναι κατ’ απόλυτη τιμή μέγιστος
Αναλυτικώτερα

Τρίτη, 18 Δεκεμβρίου 2012

Απόδοση Κύκλου Carnot

       Μια "απόδειξη" για το γεγονός ότι ο κύκλος του Carnot έχει τη μέγιστη απόδοση με την βοήθεια της "εις άτοπον απαγωγής"...

    Απόδοση Κύκλου Carnot

Σάββατο, 15 Δεκεμβρίου 2012

Γιατί ο κύκλος Carnot έχει τον μεγαλύτερο συντελεστή απόδοσης;


Θεωρούμε μια θερμική μηχανή, η οποία λειτουργεί μεταξύ των θερμοκρασιών Τ1 και Τ2 με Τ12.
Να αποδείξετε ότι ο συντελεστής απόδοσης της μηχανής δεν υπερβαίνει τον συντελεστή απόδοσης μιας μηχανής Carnot, η οποία λειτουργεί μεταξύ των ίδιων θερμοκρασιών.


Απόδειξη



Παραβιάστε άφοβα το 2ο θερμοδυναμικό αξίωμα

Συνδέοντας μια μηχανή Carnot με μία Stirling.
Είμαστε σοβαροί;
Συνέχεια:

Δευτέρα, 10 Δεκεμβρίου 2012

Υπάρχει σωστή λύση;

Το δοχείο του σχήματος περιέχει αέριο με γ=5/3. Η πίεσή του είναι όσο η εξωτερική δηλαδή  100.000 Pa και η θερμοκρασία του 300 K. Το χέρι μας φροντίζει γι’ αυτό. Το εμβαδόν του εμβόλου είναι 10 τετρ. εκατ .Το συνολικό βάρος εμβόλου και πρόσθετου βάρους είναι 300 Ν.
Κάποια στιγμή αποσύρουμε το χέρι μας. Το έμβολο μετά από μερικές ταλαντεύσεις ισορροπεί στη θέση του σχήματος.
  1. Πόσο είναι το h ;
  2. Πόση είναι η αύξηση της θερμοκρασίας του αερίου;
Απαντήσεις:

Μια «Αινιγματική» Αδιαβατική Μεταβολή

Πέμπτη, 6 Δεκεμβρίου 2012

 Mια διδακτική άσκηση κίνησης …
και ένας προβληματισμός για την τεχνικής της διδασκαλίας.

'' Όλα πρέπει να γίνονται όσο πιο απλά είναι δυνατόν... αλλά όχι απλούστερα''.
Albert Einstein ( 1879-1955)



Στον Φίλο μας Θρασύβουλο Μαχαίρα …αντί για σχόλια στις αναρτήσεις του.

Eυχαριστώ θερμά ...τον Γ. Φιορεντίνο και τον Ν. Σταματόπουλο
για την ενθάρρυνση …αυτής της ιδέας.