Σάββατο, 21 Δεκεμβρίου 2013

Δημιουργείται ή όχι στάσιμο κύμα;

Μια οριζόντια ελαστική χορδή μήκους ℓ ηρεμεί με όλα της τα σημεία στην θέση ισορροπίας τους.
Η χορδή ταυτίζεται με το διάστημα [0,ℓ] ορθοκανονικού συστήματος συντεταγμένων. Το άκρο Γ( x=ℓ) της χορδής είναι ακλόνητα στερεωμένο. Με την βοήθεια ενός ταλαντωτή, την στιγμή t=0 το άκρο Ο αρχίζει να ταλαντώνεται στην διεύθυνση του άξονα y με εξίσωση yO(t)=Aημ(ωt), με αποτέλεσμα στη χορδή να διαδοθεί εγκάρσιο αρμονικό κύμα με ταχύτητα υ. Το κύμα αυτό φτάνοντας στο Γ ανακλάται χωρίς απώλειες ενέργειας. Το ανακλώμενο κύμα φτάνει στο Ο όπου ανακλάται ξανά χωρίς απώλειες ενέργειας κ.ο.κ.
Α) Να βρεθεί η εξίσωση του παραγόμενου κύματος

Β) Να εξετάσετε την περίπτωση που το μήκος της χορδής είναι ημιακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους κύματος.
Απάντηση σε doc και σε pdf

Οι 4 λύσεις μιας ασκησούλας ελαστικής κρούσης.

Μια πλάκα κινείται με ταχύτητα υ2 . Μια μπάλα κινείται με ταχύτητα υ1 και συγκρούεται με την πλάκα μετωπικά και ελαστικά. Όλα αυτά συμβαίνουν στο κενό και εκτός πεδίου βαρύτητας.


Με ποια ταχύτητα θα κινηθεί η μπάλα μετά την κρούση;

Θεωρήσατε ότι η μάζα της πλάκας είναι πολύ μεγαλύτερη αυτής της μπάλας.

Πέμπτη, 19 Δεκεμβρίου 2013

Μια εναλλακτική θεμελίωση των κυμάτων…

Τα κύματα δεν είναι η συνέχεια των ταλαντώσεων, όπως για διδακτικούς λόγους κάνουμε…
1.  Η διάδοση ενός παλμού.
Έστω ότι έχουμε ένα ελαστικό μέσο, π.χ. μια τεντωμένη οριζόντια χορδή. Εκτρέποντας το αριστερό άκρο της για ένα μικρό χρονικό διάστημα κατακόρυφα, μπορούμε να δημιουργήσουμε έναν παλμό, ο οποίος μπορούμε να τον δούμε να διαδίδεται κατά μήκος της χορδής. Τέτοιοι παλμοί φαίνονται στο παρακάτω σχήμα να διαδίδονται προς τα δεξιά πάνω στην χορδή.
Οι παλμοί αυτοί μπορούν να έχουν διάφορες μορφές, όπως π.χ. τριγωνικοί ή και αρμονικοί.
Ας πάρουμε τώρα ένα παλμό όπως στο διπλανό σχήμα, ο οποίος διαδίδεται προς τα δεξιά και στο σχήμα δίνονται δύο θέσεις του που διαφέρουν χρονικά κατά Δt = t2-t1.  Ορίζουμε την ταχύτητα διάδοσης του παλμού:
υ=s/Δt
Και αν θέλουμε να δώσουμε μια μαθηματική συνάρτηση για την διάδοση του παλμού αυτού; Αν θέλουμε δηλαδή μια κυματοσυνάρτηση  για να περιγράψουμε τόσο τη μορφή του παλμού, όσο και τη θέση του κάποια στιγμή, τι κάνουμε;

ή

Τρίτη, 17 Δεκεμβρίου 2013

Πρόβλημα διδακτικής στα κύματα. Εξίσωση και φάση κύματος.

Η παρούσα ανάρτηση έχει αφετηρία προφανώς τη γνωστή συζήτηση:
Όταν κολλάω κάπου ξαναπιάνω τα πράγματα από την αρχή.

Θα περιοριστώ σε εγκάρσιο κύμα σε ελαστικό μέσον. Πως παρουσιάζεται σε βιβλία Γενικής Φυσικής και πως σε σχολικά εγχειρίδια. Αντιλαμβανόμαστε φυσικά ότι τα δεύτερα επιβάλλεται να απλοποιήσουν την παρουσίαση χρησιμοποιώντας έννοιες προσιτές σε μαθητές. Μία τέτοια, η πηγή του κύματος, βοήθησε σημαντικά το να παρουσιάσουμε την εξίσωση κύματος αλλά τα προβλήματα που συνοδεύουν το θέμα δημιούργησαν «προβλήματα».

Παρασκευή, 13 Δεκεμβρίου 2013

Βρείτε το πλάτος ταλάντωσης των κοιλιών στάσιμου κύματος σε χορδή.

Μια χορδή μήκους 1,03 m είναι στερεωμένη στο άκρο Ν. Το ελεύθερο άκρο της Ο ταλαντεύεται με συχνότητα 10 Hz και πλάτος 1 cm. Το κύμα που οδεύει προς τα δεξιά και το ανακλώμενο διαδίδονται με ταχύτητες 20 m/s.

  1. Με σημείο αναφοράς το Ν γράψτε τις εξισώσεις του προσπίπτοντος και του ανακλωμένου κύματος.
  2. Γράψτε την εξίσωση του στάσιμου κύματος που προκύπτει.
  3. Υπολογίσατε το πλάτος ταλάντωσης των κοιλιών.
  4. Τι θα συμβεί αν μειώσω ελάχιστα τη συχνότητα;

Τετάρτη, 11 Δεκεμβρίου 2013

Δύο σώματα δεμένα σε ελατήριο κινούνται

Τα δύο σώματα του σχήματος ηρεμούν σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Το ελατήριο φυσικά έχει το φυσικό του μήκος L.
Τη χρονική στιγμή μηδέν το πρόσθιο δέχεται σταθερή οριζόντια δύναμη που έχει φορέα τη διεύθυνση του ελατηρίου.

Υπολογίσατε τη μέγιστη επέκταση του ελατηρίου.

Πέμπτη, 5 Δεκεμβρίου 2013

Άλλη μία ... περιβάλλουσα



Σώμα βάλλεται από σημείο Α που βρίσκεται σε ύψος Η, με αρχική ταχύτητα μέτρου υο που σχηματίζει γωνία θ ως προς τον x άξονα (–90º < θ ≤ 90º). Για τις δεδομένες τιμές των Η και υο υπάρχουν σημεία του επιπέδου (x,y) που δεν μπορεί να τα προσπελάσει το σώμα.
Να προσδιορίσετε την περιοχή των σημείων στα οποία μπορεί να φτάσει το σώμα, για κάθε τιμή της γωνίας βολής θ.

Δευτέρα, 2 Δεκεμβρίου 2013

Μια σύζευξη ταλαντώσεων

A) Ελεύθερη ταλάντωση.
Στην διάταξη του σχήματος τα ελατήρια έχουν το φυσικό τους μήκος και τα σώματα Σ1, Σ2 μάζας m ηρεμούν σε λεία οριζόντια ακίνητη βάση.
Την στιγμή to=0, με μια στιγμιαία ώθηση, δίνουμε στο σώμα Σ1 αρχική ταχύτητα υ0>0. Να βρεθούν οι απομακρύνσεις των δύο σωμάτων από την θέση ισορροπίας τους συναρτήσει του χρόνου.

Β) Εξαναγκασμένη ταλάντωση

Υποθέτουμε ότι η βάση αρχίζει να ταλαντώνεται με εξίσωση x=Aημωt. Να βρεθεί το πλάτος της ταλάντωσης κάθε σώματος υποθέτοντας ότι κάθε σώμα κινείται με γωνιακή συχνότητα ω.
Η λύση σε pdf και doc

Παρασκευή, 22 Νοεμβρίου 2013

Βυθίσατε τη σφαίρα. Μια άσκηση με ολίγη Γεωμετρία.

Μια ομογενής και συμπαγής σφαίρα είναι φτιαγμένη από υλικό πυκνότητας 5/32 g/ml. Έχει ακτίνα 0,2 m.
Τοποθετείται στο νερό και φυσικά επιπλέει.

  1. Πόσο βυθίζεται;
  2. Εκφράσατε τη συνισταμένη άνωσης-βάρους συναρτήσει του βυθίσματος .
  3. Εκφράσατε συναρτήσει του βυθίσματος τη δυναμική ενέργεια του σώματος θεωρώντας την μηδέν στη θέση ισορροπίας.
  4. Πόσο έργο απαιτείται για να βυθιστεί;

Σάββατο, 16 Νοεμβρίου 2013

Ολοκλήρωση των εξισώσεων κίνησης (III). Ένα ενδιαφέρον δυναμικό.

Στην τρίτη αυτή ανάρτηση για την εύρεση του λεγόμενου πρώτου ολοκληρώματος της κίνησης εξετάζουμε ένα δυναμικό που παρουσιάζει ενδιαφέρον...

Ολοκλήρωση των εξισώσεων κίνησης (III). Ένα ενδιαφέρον δυναμικό.

Παρασκευή, 1 Νοεμβρίου 2013

Ποιος κύλινδρος θα ανέβει πρώτος;

Δύο πανομοιότυποι κύλινδροι επιπλέουν σε νερό μέσα στα δύο κυλινδρικά δοχεία του σχήματος. Τα δοχεία έχουν διαφορετικά εμβαδά διατομών.
Εκτρέπουμε τους κυλίνδρους από τη θέση ισορροπίας τους και τους αφήνουμε ελεύθερους.
Θα ακινητοποιηθούν ταυτόχρονα;
Αν όχι ποιος θα ακινητοποιηθεί πρώτος;

Επηρεάζεται η απάντηση από την εκτροπή κάθε κυλίνδρου;

Τετάρτη, 30 Οκτωβρίου 2013

Το παράδοξο των δύο φορτίων. Ποιος έχει δίκιο;

Ο μικρός κρατάει μια θετικά φορτισμένη πλάκα αμελητέου βάρους.
Σε επαφή με αυτήν βρίσκεται σώμα θετικά φορτισμένο.
Η άπωση από την πλάκα είναι αρχικά μεγαλύτερη από το βάρος και το σώμα ανέρχεται. Κάποια στιγμή το σώμα βρίσκεται στη θέση ισορροπίας του.
Πότε το σύστημα έχει μεγαλύτερη ενέργεια;
Όταν το «πείραμα» γίνεται στο έδαφος ή όταν γίνεται πάνω σε σκάλα;
Χωρίς η απάντηση να επηρεάζεται μπορείτε να θεωρήσετε μηδενική τη δυναμική ενέργεια στο έδαφος.

Ακολουθούν τρεις απαντήσεις με αντιφατικά συμπεράσματα.
Έχουν και οι τρεις άδικο;
Έχουν και οι τρεις δίκιο;

Έχει κάποιος δίκιο;

Πως διακιολογείται η φράση «Στα σημεία που η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου είναι μεγάλη οι δυναμικές γραμμές είναι πυκνές»;



Κατά την διάρκεια μιας θυελλώδους συζήτησης με 11000 προβολές και 26 σελίδες σχόλια ο Γιώργος Γεωργαντάς έθεσε μεταμεσονυκτίως το ερώτημα για την μορφή του πεδίου F=- k r.
Το πεδίο αυτό μορφολογικά μοιάζει με το πεδίο ενός αρνητικού σημειακού ηλεκτρικού φορτίου.
Πρώτος ο Γιώργος έθεσε το ζήτημα της δυσαρμονίας της τοπογραφίας του πεδίου με την φυσική μας διαίσθηση. Στο πεδίο αυτό οι δυναμικές γραμμές είναι πυκνές σε σημεία που το πεδίο είναι ασθενές.
Η αρχική μου υποψία είναι ότι η αιτία της παραδοξότητας οφείλεται στο γεγονός ότι div F≠0.
Ήταν μια ευκαιρία να προσπαθήσω να δώσω απάντηση στον τίτλο της ανάρτησης.

Παρασκευή, 25 Οκτωβρίου 2013

Πεδίο δύναμης και ελατήριο.

Στην προηγούμενη τοποθέτησή μου, με τίτλο «Τα μαθηματικά και το διάβασμά τους, παρέα με τη φύση.» είχα περιλάβει το παρακάτω απόσπασμα:
Ας πάρουμε το παράδειγμα των δύο ελατηρίων, που είχα δώσει στο 6) ερώτημα της προηγούμενης τοποθέτησης. Και ας εφαρμόσουμε τη λογική που λέει, όλες οι ενέργειες, ως προς το ίδιο επίπεδο (και κυρίως όσον αφορά την δυναμική ενέργεια του ελατηρίου).

Τα δυο σώματα ηρεμούν και εμείς υπολογίζουμε τις μηχανικές ενέργειες κάθε συστήματος, ως προς το ίδιο οριζόντιο επίπεδο.
Στο (α) σχήμα, η μηχανική ενέργεια του συστήματος, είναι:
Εμ/1=0.
Στο (β) σχήμα αντίστοιχα για την μηχανική ενέργεια του συστήματος έχουμε:

Η συνέχεια σε pdf.

Πέμπτη, 24 Οκτωβρίου 2013

Το πρώτο μου test της χρονιάς!!!

Στη βάση του πλάγιου επιπέδου του σχήματος βρίσκεται στερεωμένο το φορτίο Q. Σε απόσταση r από το Q, στο σημείο Ο, αφήνουμε ένα φορτισμένο σώμα με μάζα m και φορτίο q το οποίο ισορροπεί. Υπολογίζουμε τις δυναμικές ενέργειες του συστήματος Γη-σώμα-φορτίο Q (τις οποίες αποδίδουμε στο σώμα με μάζα m) και βρίσκουμε UΟ/βαρ=0,01J και UΟ/ηλ=0,04J, θεωρώντας τη βαρυτική δυναμική ενέργεια μηδενική στο οριζόντιο επίπεδο και την ηλεκτροστατική στο άπειρο. Απομακρύνουμε το σώμα κατά x, φέρνοντάς το σε σημείο Ρ του κεκλιμένου επιπέδου και υπολογίζουμε ξανά τις αντίστοιχες δυναμικές ενέργειες βρίσκοντας UΡ/βαρ=0,07J και UΡ/ηλ=0,01J. Αφήνουμε το σώμα ελεύθερο να εκτελέσει μια μη αρμονική ταλάντωση, ενώ η κίνησή του γίνεται χωρίς τριβές. 
i) Η ενέργεια ταλάντωσης του σώματος είναι ίση με: 
α) 0,08J,    β) 0,06J,       γ) 0,05J,       δ) 0,03J. 
ii) Η μέγιστη κινητική ενέργεια που θα αποκτήσει το σώμα θα είναι: 
α) 0,08J,    β) 0,07J,       γ) 0,05J,       δ) 0,03J. 
iii) Σε μια στιγμή που το σώμα φτάνει ξανά στο σημείο Ρ, δέχεται κτύπημα με κατεύθυνση προς το Ο, με αποτέλεσμα να «κερδίσει» ενέργεια 1J. Τότε η μέγιστη κινητική ενέργεια που θα αποκτήσει θα είναι: 
α) 1,08J,    β) 1,05J,       γ) 1,03J,       δ) 1,01J. 
iv) Με πόση κινητική ενέργεια θα επιστρέψει στο σημείο Ρ; 
v) Τη στιγμή που ξαναφτάνει στο σημείο Ρ, δέχεται και δεύτερο κτύπημα με αποτέλεσμα να κερδίσει ενέργεια 3J και να κινηθεί οριζόντια εγκαταλείποντας το κεκλιμένο επίπεδο και μετά από λίγο να πέσει στο οριζόντιο επίπεδο. Η τελική θέση θεωρούμε ότι είναι αρκετά μακριά, πράγμα που σημαίνει ότι μπορούμε να θεωρήσουμε ότι είναι έξω από το ηλεκτρικό πεδίο του φορτίου Q. Η κινητική ενέργεια με την οποία το σώμα φτάνει στο οριζόντιο επίπεδο θα είναι: 
α) 4,08J,       β) 4,03J,       γ) 3,03J,       δ) 3,02J.
ΥΓ.
Μιας και δεν έχω φέτος μαθητές, να βάζω test, έφτιαξα ένα που δεν απευθύνεται σε μαθητές…. Ή με άλλα λόγια, τα όρια ισχύος και εφαρμογής της ενέργειας ταλάντωσης και το "υπόβαθρο" της μηχανικής ενέργειας.

Τρίτη, 22 Οκτωβρίου 2013

Τα μαθηματικά και το διάβασμά τους, παρέα με τη φύση.

"Τα  μαθηματικά  για τον Φυσικό δεν είναι και δεν πρέπει να είναι ανέκφραστα. Ή για να το πω αλλιώς, κόπος του φυσικού είναι, όχι µόνο να βγάλει τις εξισώσεις όπως ο μαθηματικός, αλλά και να τις διαβάσει µε τη Φύση παρέα."                                                                                                                 Θρασύβουλος Μαχαίρας.
Αν ένα σώμα κινείται σε ένα πεδίο δυνάμεων, τότε δεν έχω κανένα περιορισμό και σύμφωνα με την θεωρητική μηχανική, πράγματι μπορώ να ορίσω αυθαίρετα το σημείο στο οποίο θα πάρω μηδενική τη δυναμική ενέργεια.
Έτσι αν πάρουμε το παράδειγμα του βαρυτικού πεδίου, όπου στο σημείο Α αφήνεται ένα σώμα και όπου ορίζουμε ότι U=0. Την τιμή U=0 την δώσαμε αυθαίρετα προφανώς. Το σώμα θα κινηθεί και θα έχουμε εμφάνιση κινητικής ενέργειας, πράγμα που σημαίνει απλά ότι θα μεταβεί σε μια νέα θέση με αρνητική τιμή δυναμικής ενέργειας.  Θα υπάρξει δηλαδή μείωση της δυναμικής ενέργειας. Δεν μου δημιουργεί κανένα πρόβλημα στην φυσική μου ερμηνεία η ενεργειακή αντιμετώπιση του προβλήματος. Άλλωστε γνωρίζω ότι αυτό που έχει φυσική αξία είναι η μεταβολή της δυναμικής ενέργειας και όχι  η ίδια η τιμή της.
Αλλά, ας πάρω ένα σημείο Α, όπου η δυναμική ενέργεια είναι διάφορη του μηδενός και η δύναμη μηδενική. Αφήνουμε το σώμα στη θέση αυτή και δεν κινείται.
Εδώ για μένα δημιουργείται πρόβλημα στη  φυσική μου διαίσθηση και λογική. Τι σημαίνει το σώμα έχει δυναμική ενέργεια; Βέβαια θα μπορούσε να αντιταχθεί ένα παράδειγμα ενός γραμμικού μέσου, που το δυναμικό σε συνάρτηση με το x να δίνεται από μια από τις δύο παρακάτω γραφικές παραστάσεις.

....
Η συνέχεια από εδώ.
ή

Δυναμική-Μηχανική-Ενέργεια Ταλάντωσης.

Κάνω μια προσπάθεια κωδικοποίησης της άποψης, που από την αρχή είχα εκφράσει ότι, δεν πρέπει να  συγχέουμε τη μηχανική ενέργεια με την ενέργεια ταλάντωσης.
1)      Δυναμική ενέργεια.
Αν μια δύναμη είναι συντηρητική, το έργο της είναι ανεξάρτητο της διαδρομής και εξαρτάται μόνο από την αρχική και τελική θέση. Αλλά αυτό μας επιτρέπει να ορίσουμε μια ποσότητα, που ονομάζουμε δυναμική ενέργεια σε κάθε θέση, έτσι ώστε να ισχύει:
WΑΒ= UΑ-UΒ.
Ο παραπάνω ορισμός, δεν μας λέει πού η δυναμική ενέργεια είναι μηδενική και πόση πραγματικά είναι αυτή η ενέργεια. Η δυναμική ενέργεια παίρνει μια αυθαίρετη τιμή, αφού αυτό που μας ενδιαφέρει δεν είναι η τιμή της, αλλά η μεταβολή της.
Παράδειγμα. Όταν βρίσκομαι στην Τρίπολη και πρόκειται να ανέβω στον Πάρνωνα  κατά 500m, αυτό που με ενδιαφέρει είναι αυτή η υψομετρική διαφορά και η βενζίνη που θα χρειαστώ για την ανάβαση και όχι πόσο υψόμετρο έχει από την επιφάνεια της θάλασσας η Τρίπολη ή ο Μαλεβός!!! (Μαλεβός=Πάρνωνας).
2)      Μηδενική δυναμική ενέργεια.

Η προηγούμενη θέση μας επιτρέπει να θέσουμε το μηδέν της δυναμικής ενέργειας όπου εμείς θέλουμε και μπορούμε να το κάνουμε. Αλλά αν δεν υπάρχει κάποιος σημαντικός λόγος εξαίρεσης, ο ορισμός δεν πρέπει να προσβάλλει τη φυσική μας διαίσθηση.

Η συνέχεια εδώ.
ή

Δευτέρα, 14 Οκτωβρίου 2013




Πως αιτιολογείται κύριε ο όρος ... Γραμμική
 στην  Απλή Αρμονική Ταλάντωση ;
 Συμφωνείται με το Σχολικό βιβλίο;


Ένα  νοητικό μάθημαμε αφορμή μια ερώτηση.


H εργασία ...εδώ.