Παρασκευή, 22 Μαρτίου 2013

Θα περιστραφεί το παιδί; Ποια είναι η σωστή απάντηση; Παιχνίδια με το θεώρημα Steiner.


Ο πιτσιρικάς βρίσκεται πάνω σε πλατφόρμα δυνάμενη να περιστραφεί αλλά ακίνητη.
Κρατά στο χέρι του δίσκο στρεφόμενο όπως στο σχήμα.
Κάποια στιγμή μεταφέρει τον δίσκο προς το μέρος του φροντίζοντας να παραμένει συνεχώς οριζόντιος.
Η πλατφόρμα και το παιδί θα περιστραφούν κατά το πλησίασμα αυτό του δίσκου;


Πέμπτη, 21 Μαρτίου 2013

Διαστατική ανάλυση και μαύρες τρύπες (ΙΙ)


            Σε προηγούμενη ανάρτηση με τίτλο: Διαστατική ανάλυση και… μαύρες τρύπες, είδαμε κάποια χαρακτηριστικά και κάποιες ιδιότητες των μελανών οπών με τη βοήθεια της διαστατικής ανάλυσης. Είδαμε λοιπόν τον «ορίζοντα» της μαύρης τρύπας καθώς επίσης και τη σχέση που συνδέει την εντροπία μιας μαύρης τρύπας με την επιφάνεια του ορίζοντα γεγονότων της (σχέση του Bekenstein)...   

Σχετικιστική δυναμική για σταθερή δύναμη


Ας θεωρήσουμε την απλούστερη δυνατή περίπτωση δηλαδή τη μονοδιάστατη περίπτωση κατά την οποία μια σταθερή δύναμη δρα πάνω σε ένα αρχικά ακίνητο σώμα μάζας m. Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι η δύναμη αυτή επιδρά στο σώμα για χρόνο t και ότι το σώμα αποκτά ταχύτητα  υ(t)...  

Σχετικιστική δυναμική για σταθερή δύναμη

Τετάρτη, 20 Μαρτίου 2013

Γενική γυροσκοπική κίνηση

Στην προηγούμενη μελέτη του γυροσκοπίου περιοριστήκαμε στην εύρεση της αναγκαίας συνθήκης μεταξύ της γωνιακής ταχύτητας «ιδιοπεριστροφής» του τροχού και στην γωνιακή ταχύτητα μετάπτωσης της ράβδου ώστε η ράβδος να σχηματίζει σταθερή γωνία θ με την κατακόρυφο.
Το πείραμα δείχνει ότι αν το σύστημα έχει αρχική γωνιακή ταχύτητα στην διεύθυνση μεταβολής της γωνίας θ, τότε παρουσιάζει μια εξαιρετική ευστάθεια ταλαντευόμενο γύρω από μια γωνία ισορροπίας.
Αυτό προοιωνίζει το εξής γεγονός. Η δυναμική εξίσωση για την γωνία θ εμφανίζει ένα ενεργό δυναμικό το οποίο έχει τοπικό ελάχιστο στην γωνία ισορροπίας. Η αναγνώριση του δυναμικού αυτού είναι δυνατή και εύκολη μέσω της ενέργειας του συστήματος δηλαδή της Hamiltonian
Συνέχεια

Δευτέρα, 18 Μαρτίου 2013

Η δύναμη και η επιπλέον ροπή ζεύγους.

Η συνέχεια της ανάρτησης «Μια ορθή  γωνία στρέφεται», είναι ένα θέμα που δεν απευθύνεται σε μαθητές. Είναι «αυστηρώς ακατάλληλη» γι’ αυτούς!!! Είχα πει ότι μπορεί να υπάρξει και συνέχεια, προβληματιζόμουν όμως αν πρέπει να το προσπαθήσω, αλλά η παρέμβαση του Διονύση Μητρόπουλου που από τη μια μου υπενθύμισε δική του ανάλυση πάνω στις δυνάμεις σε μια ράβδο (Διονύση βοήθεια δεν την βρίσκω) και από την άλλη μου επεσήμανε μια αντίφαση στην παραπάνω άσκηση, η οποία είχε σαν αποτέλεσμα να σβήσω μια λέξη στο δ) ερώτημα (δύναμης), αλλά και με βοήθησε να δω ποια είναι η κατάσταση, με έπεισε να συνεχίσω.
Συνεπώς η ανάρτηση αυτή αφιερώνεται δικαιωματικά στο Διονύση Μητρόπουλο, τον οποίο ευχαριστώ για την παρέμβαση και την πολύτιμη βοήθεια.
-----------------------------------------------------------
Ας ξεκινήσουμε από κάτι απλούστερο και που θα μας βοηθήσει να κάνουμε τους σωστούς συλλογισμούς, για την παραπέρα μελέτη μας.
Παράδειγμα:
Δυο όμοιες ομογενείς ράβδοι ΟΑ και ΑΒ είναι κολλημένες στο κοινό τους άκρο Α, έχοντας δημιουργήσει μια νέα ράβδο ΟΒ μήκους 2ℓ=2m και μάζας Μ=2m=2kg, η οποία στρέφεται γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα ο οποίος περνά από το άκρο της Ο. Σε μια στιγμή βρίσκεται σε οριζόντια θέση, όπως στο σχήμα, έχοντας γωνιακή ταχύτητα ω=2rad/s. Για την θέση αυτή:
i)     Να υπολογιστεί η γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου.
ii)    Να υπολογιστούν η οριζόντια και κατακόρυφη συνιστώσα της δύναμης που ασκεί η ράβδος ΟΑ στην ράβδο ΑΒ.
iii)   Να υπολογιστεί η ροπή που ασκεί η ράβδος ΟΑ στην ΑΒ (εκτός της δύναμης).
Για μια ομογενή ράβδο Ιcm=1/12 M2 , ενώ  g=10m/s2.
ή

Σάββατο, 16 Μαρτίου 2013

O "πειραματικός" νόμος του Coulomb και η μέτρηση της διηλεκτρικής σταθεράς του αέρα.


Αφορμή αποτέλεσε το πρόβλημα που έθεσε ο Πάνος Μουρούζης. Περιγράφεται μια διάταξη από την οποία προκύπτει και ο νόμος του Coulomb, αλλά εδώ μας ενδιαφέρει ο υπολογισμός της διηλεκτρικής σταθεράς του κενού. Δίνεται ένα πειραματικό πρόβλημα η διαδικασία τα πειραματικά δεδομένα και η επεξεργασία τους. 

Στροφική ταλάντωση δακτυλίου σε μαγνητικό πεδίο


Ένας αγώγιμος δακτύλιος ακτίνας R με μάζα M, αμελητέα αντίσταση και συντελεστή αυτεπαγωγής L,  κρέμεται μέσω μονωτικού νήματος και ισορροπεί όπως φαίνεται στο σχήμα. Δίνεται ότι το νήμα μπορεί να ασκεί ροπή επαναφοράς ανάλογη της γωνίας θ κατά την οποία στρέφεται το επίπεδο του δακτυλίου σε σχέση με την αρχική θέση ισορροπίας του. Η σταθερά επαναφοράς του νήματος είναι Κ και η ροπή αδράνειας του δακτυλίου ως προς την κατακόρυφη διάμετρό του είναι I=MR2/2. Αποκαθίσταται με σταθερό ρυθμό μεταβολής, ομογενές μαγνητικό πεδίο Β παράλληλο στο διάνυσμα της επιφάνειας του δακτυλίου. Nα αποδείξετε ότι αν το διάνυσμα της επιφάνειας του δακτυλίου στραφεί κατά μικρή γωνία θ μετά την αποκατάσταση του B, θα εκτελέσει στροφική αρμονική ταλάντωση και να βρείτε την περίοδό της σε σχέση με τα M,R,K,B και L.
Και μία πρόσθετη ερώτηση από Ολυμπιάδα:
Θα ήταν δυσκολότερο να θερμάνουμε τον δακτύλιο όπως είναι κρεμασμένος από το νήμα ή αν βρισκόταν σε οριζόντιο θερμομονωτικό δάπεδο όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα; 

Αναπήδηση μπάλας σε τοίχο


Μια μπάλα με μάζα m και ακτίνα R κινείται οριζόντια με ταχύτητα v0 και συγκρούεται με κατακόρυφο ανένδοτο τοίχο και αναπηδά προς τα πίσω. Η πίεση του αέρα στο εσωτερικό της μπάλας είναι μεγαλύτερη από την πίεση στο εξωτερικό. Αν η διαφορά της πίεσης που επικρατεί στο εσωτερικό της μπάλας σε σχέση με το εξωτερικό είναι Δεκτιμήστε τη χρονική διάρκεια της κρούσης και τη διάμετρο του σημαδιού που αφήνει η σφαίρα στον τοίχο. Θεωρείστε ότι η παραμόρφωση x είναι πολύ μικρότερη της ακτίνας R της μπάλας και ότι η περαιτέρω αύξηση της πίεσης κατά την κρούση είναι αμελητέα.

Μια ασυνήθιστη εκτροπή


Μια μεταλλική αβαρής ράβδος πολύ μεγάλου μήκους L μπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβές κατακόρυφα παραμένοντας οριζόντια και σε επαφή με δύο κατακόρυφους αγωγούς. Οι αγωγοί είναι συνδεδεμένοι στο πάνω μέρος με αντιστάτη αντίστασης R. Η αντίσταση της ράβδου και των αγωγών είναι αμελητέα. Ένα ομογενές μαγνητικό πεδίο Β είναι κάθετο στο επίπεδο του σχηματιζόμενου κυκλώματος όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
Στο μέσον τις ράβδου είναι κρεμασμένο μέσω μονωτικού νήματος, με μήκος ένα βαρύ σφαιρίδιο με θετικό ηλεκτρικό φορτίο q. Το μήκος του μονωτικού νήματος είναι τέτοιο ώστε το βαρίδι να είναι σχετικά μακριά από τη ράβδο. Η ράβδος αφήνεται να πέσει. Να βρείτε τη γωνία θ που θα σχηματίζει με την κατακόρυφη το μονωτικό νήμα όταν η ράβδος θα έχει αποκτήσει την οριακή της ταχύτητα.
Δίνονται τα L,B,q,R

Το παράδοξο της κουβαρίστρας


H ροπή αδράνειας της κουβαρίστρας ως προς το κέντρο μάζας της είναι Ιcm=mR2/2   Προς τα πού θα κινηθεί η κουβαρίστρα και ποια η επιτάχυνση του κέντρου μάζας της αν τραβήξουμε την κλωστή με σταθερή δύναμη F που σχηματίζει γωνία θ με το οριζόντιο έδαφος; Υποθέστε ότι η κουβαρίστρα δεν ολισθαίνει.

Μετάπτωση και Νεύση


Δύσκολα η μεταπτωτική κίνηση του τροχού δεν συνοδεύεται από την "άγνωστη" συνήθως μη αντιληπτή Νεύση, μια απλή αρμονική ταλάντωση στο κατακόρυφο επίπεδο. Ένα δύσκολο αλλά όχι απρόσιτο ζήτημα για μαθητές.

Ένας κύλινδρος και μια σφαίρα



Μια μικρή αμελητέων διαστάσεων σφαίρα Σ μάζας  Μ ,  είναι στερεωμένη  στο ένα άκρο μιας αβρούς ράβδου,  που έχει  το άλλο  της κολλημένο στην επιφάνεια ενός κυλίνδρου μάζας m  και ακτίνας  r.
Η σφαίρα απέχει από το κέντρο του κυλίνδρου απόσταση R.
Ο κύλινδρος ακουμπά πάνω σε τραχύ οριζόντιο επίπεδο.
Το σύστημα αρχικά ηρεμεί  με την ράβδο κατακόρυφη όπως στο σχήμα,  και ύστερα από μικρή ώθηση στη σφαίρα προς τα δεξιά, αρχίζει να κινείται , έτσι ώστε ο κύλινδρος να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει.
Α. Να βρείτε την διεύθυνση και τη φορά της ταχύτητας της σφαίρας, τη χρονική στιγμή που φτάνει στο οριζόντιο επίπεδο.
Β. Να υπολογίσετε την τιμή που θα έχουν τα παρακάτω μεγέθη,  τη στιγμή που η σφαίρα  θα φτάνει στο οριζόντιο δάπεδο:
i. γωνιακή ταχύτητα με την οποία στρέφεται το σύστημα
ii. ταχύτητα της σφαίρας.
Δίνονται το μέτρο g της επιτάχυνσης της βαρύτητας  και ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς το κέντρο μάζας του Ι = ½ ·mr².

Γυροσκοπικοί υπολογισμοί



Το γυροσκόπιο είναι μια διάταξη, η οποία μπορεί να διατηρεί σταθερό τον προσανατολισμό της μέσω της περιστροφής των μερών της. Για να μεταβληθεί ο προσανατολισμός της διάταξης θα πρέπει να αλλάξει η κατεύθυνση της στροφορμής της. Για την αλλαγή αυτή απαιτείται ροπή. Συνεπώς το γυροσκόπιο «αντιδρά» στην αλλαγή της στροφορμής του. Όσο πιο γρήγορα γίνεται η αλλαγή τόσο εντονότερη είναι η αντίδραση. Στο σύστημα συν-κινούμενου παρατηρητή αυτή η αντίδραση εμφανίζεται σαν ψευδοζεύγος που τείνει να επαναφέρει την στροφορμή στην αρχική της κατεύθυνση.
Ένα απλό γυροσκόπιο αποτελείται από μια ράβδο και ένα δίσκο, ο οποίος μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές με το επίπεδό του κάθετο στην ράβδο.

Υποθέτουμε ότι θέτουμε σε περιστροφή τον δίσκο και τοποθετούμε την διάταξη σε τέτοια θέση ώστε η ράβδος να σχηματίζει γωνία θ με την κατακόρυφο. Αν το σύστημα αφεθεί ελεύθερο τότε η ράβδος τίθεται σε περιστροφή γύρω από κατακόρυφο άξονα που περνά από το ένα άκρο της ( μετάπτωση).
Σκοπός μας είναι να συσχετίσουμε την γωνιακή ταχύτητα «ιδιοπεριστροφής» του δίσκου με την γωνιακή ταχύτητα περιφοράς στην περίπτωση που η γωνία θ παραμένει σταθερή.

Παρασκευή, 15 Μαρτίου 2013

Ποια είναι η στροφορμή του συστήματος; Βρείτε τη σωστή απάντηση. Νο 2


Η λεπτή ομογενής ράβδος του σχήματος έχει μάζα Μ και μήκος ℓ.
Ο λεπτός ομογενής δίσκος έχει μάζα m και ακτίνα R.
Ποια είναι η στροφορμή του συστήματος ως προς Ο;
Βρείτε την σωστή απάντηση.

Θεωρήσατε γνωστό το ότι η ροπή αδράνειας ομογενούς λεπτού δίσκου ως προς άξονα διερχόμενο από το κέντρο μάζας του και ανήκοντα στο επίπεδο του δίσκου είναι m.R2/4.

Τετάρτη, 13 Μαρτίου 2013

Η ράβδος, οι μαγνήτες νεοδυμίου ,οι δύο πηγές και η ταλάντωση.



Σε μια αγώγιμη ράβδο , αμελητέας αντίστασης, έχουν προσκολληθεί δύο ισχυροί μαγνήτες νεοδυμίου. Το αποτέλεσμα είναι να δέχεται η ράβδος ροπή λόγω δυναμεων Laplace ανάλογη του ρεύματος που την διαρρέει ίση προς Βισ Ι.R που το απομακρύνει από την πηγή.
Η μάζα του συστήματος ράβδος-μαγνήτες είναι m και η ροπή αδράνειας η προβλεπομένη για ομογενή κύλινδρο.
Οι ευρισκόμενες στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο, αγώγιμες ράβδοι του σχήματος έχουν ειδική αντίσταση ρ και διατομή S. Οι πηγές έχουν ηλεκτρεγερτική δύναμη Ε και αμελητέες εσωτερικές αντιστάσεις.
Η τριβή μεταξύ ράβδων και μαγνητών δεν επιτρέπει ολίσθηση.
Τα γήινο μαγνητικό πεδίο θεωρείται αμελητέο.
Δείξατε ότι η ράβδος, για μικρές απομακρύνσεις, εκτελεί αρμονική ταλάντωση και υπολογίσατε την περίοδο.

Πέμπτη, 7 Μαρτίου 2013

Γυροσκόπιο


Ο ομογενής δίσκος του σχήματος έχει μάζα m και ακτίνα R. Περιστρέφεται περί τον αβαρή άξονα μήκους D με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω χωρίς τριβές.
Το σύστημα περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ωδ περί τον εικονιζόμενο κατακόρυφο άξονα.
Να υπολογισθεί η ροπή που δέχεται ο κατακόρυφος άξονας.

Κυριακή, 3 Μαρτίου 2013

Ποια ροπή μεταβάλλει την στροφορμή του τροχού;



Η οριζόντια ράβδος του σχήματος μάζας Μ και μήκους ℓ μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της. Τροχός μάζας m και ακτίνας R μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και κάθετο στο επίπεδό του, που ταυτίζεται με τον διαμήκη άξονα της ράβδου. 

Δίνουμε στον τροχό αρχική γωνιακή ταχύτητα ω1 και στην ράβδο αρχική γωνιακή ταχύτητα ω2.
1)      Να αποδείξετε ότι η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του τροχού γύρω από τον άξονα τον κάθετο στο επίπεδό του και η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου παραμένουν σταθερές.
2)      Να υπολογίσετε την δύναμη που ασκεί η ράβδος στον δίσκο και την ροπή της ως προς το κέντρο του δίσκου.
3)      Να υπολογίσετε την δύναμη που ασκεί η άρθρωση στην ράβδο και την ροπή της ως προς την άρθρωση.
 Απάντηση