Δευτέρα, 27 Ιουλίου 2015

Οι ρευματικές γραμμές είναι τροχιές των υλικών σημείων του ρευστού ή όχι;

Μελετώντας την κίνηση ενός ρευστού κατά Lagrange ενδιαφερόμαστε για την περιπέτεια κάθε ξεχωριστού αλλά τυχαίου υλικού σημείου του ρευστού. Άλλωστε σε αυτό θα εφαρμόσουμε τον θεμελιώδη νόμο της δυναμικής.
Σχεδόν σε αντιδιαστολή με τον Lagrange ο Euler κάνει θεωρία πεδίου. Αδιαφορεί για την περιπέτεια κάθε υλικού σημείου και ενδιαφέρεται για την κατανομή των ταχυτήτων των σημείων του ρευστού στο χώρο και τον χρόνο.
Με τους δύο παραπάνω ισοδύναμους τρόπους μελέτης της κίνησης ενός ρευστού είναι συσχετισμένα δυο διαφορετικά είδη καμπυλών. Οι τροχιές των υλικών σημείων του ρευστού και οι δυναμικές γραμμές του πεδίου.
Στην παρούσα εργασία αποδεικνύεται ότι στην μόνιμη ροή οι δύο γεωμετρικές έννοιες ταυτίζονται.

Η παρούσα εργασία δεν θα είχε πραγματοποιηθεί αν σήμερα δεν ξεφύλλιζα δύο εργασίες ( εδώ και εδώ  του Βαγγέλη του Φινδανή, το οποίο και ευχαριστώ..
Συνέχεια σε Word και σε pdf

Σάββατο, 25 Ιουλίου 2015

Μόνιμη και μη μόνιμη στρωτή ροή.

Η ανάρτηση είναι μόνο για καθηγητές. 


Στο διπλανό σχήμα εμφανίζονται οι ρευματικές γραμμές για μια στρωτή και μόνιμη ροή νερού, το οποίο ας θεωρήσουμε ιδανικό ρευστό, εντός ενός οριζόντιου σωλήνα. Έστω κατά μήκος μιας  ευθύγραμμης ρευματικής γραμμής ένας άξονας x. Στη θέση x=0, η πίεση είναι p0=2∙105Ν/m2, ενώ η πυκνότητα του νερού είναι ρ=1.000kg/m3.
i)   Αν η ταχύτητα ροής του νερού κατά μήκος του άξονα δίνεται από την εξίσωση υ=1+2x (S.Ι.), να υπολογιστούν η ταχύτητα και η επιτάχυνση ενός σωματιδίου νερού, καθώς και η πίεση στη θέση x=2m.
ii)  Αν η ροή δεν είναι μόνιμη, αφού η ταχύτητα σε κάθε θέση x, δίνεται από την εξίσωση υ=1+2x+0,2t (S.Ι) να βρεθούν:
α) Η ταχύτητα και η επιτάχυνση ενός σωματιδίου ρευστού στη θέση x=2m σε συνάρτηση με το χρόνο.
β) Η πίεση στη θέση x=2m σε συνάρτηση με το χρόνο.

ή



Σάββατο, 4 Ιουλίου 2015

Ιδανικά ασυμπίεστα ρευστά

Το συνημμένο αρχείο είναι το αποτέλεσμα της προσωπικής μου μελέτης στην προσπάθειά μου να καταλάβω την μηχανική των ρευστών. Ουσιαστικά πρόκειται για μετάφραση μέρους του πρώτου κεφαλαίου του βιβλίου «Fluid Mechanics» των L.D. Landau & E.M. Lifshitz.
Συνέχεια σε word και pdf
Η εικόνα που ακολουθεί απεικονίζει τις ρευματικές γραμμές σε ένα αρχικά ακίνητο ρευστό μέσα στο οποίο κινείται μια σφαίρα.

Πέμπτη, 2 Ιουλίου 2015

Δυνάμεις αλληλεπίδρασης μεταξύ τροχαλίας και νήματος ή ιμάντα που την περιβάλλει


Όλοι είμαστε εξοικειωμένοι με προβλήματα, όπου ένα αβαρές μη εκτατό νήμα ή εύκαμπτος ιμάντας περιβάλλει μια τροχαλία, δίσκο, κλπ. και δημιουργεί ένα σύνδεσμο κίνησης αν δεν ολισθαίνει, ή έστω μια σύζευξη ανάμεσα σε δύο σώματα, μεταφέροντας ενέργεια από το ένα στο άλλο. Το σύστημα «τροχαλίες / ιμάντας» αποτελεί, ένα από τα συνηθισμένα συστήματα μετάδοσης κίνησης.

Σε όλες τις περιπτώσεις θεωρούμε ότι το νήμα ή ο ιμάντας ασκεί στην τροχαλία δύο «τάσεις» εφαπτομενικά στα σημεία που έρχεται σε επαφή με αυτήν και προφανώς αυτή που είναι ομόρροπη προς την περιστροφή προσφέρει ενέργεια στην τροχαλία, ενώ η άλλη αφαιρεί. 

Με ποιο μηχανισμό ασκούνται όμως αυτές οι δύο «τάσεις»; Δεν πρόκειται για άκρο τεντωμένου νήματος δεμένου σε σώμα. Το νήμα δεν είναι δεμένο στην τροχαλία, απλά την περιβάλλει, βρίσκεται σε επαφή με την περιφέρειά της.